Exercícios Resolvidos de Equação de Riccati

Elaboração Própria

Resolva a equação abaixo

y ' = sec 2 x - tan x y + y 2 ,           y 1 = tan x

Passo 1

Só de olhar já conseguimos ver que essa é uma equação de Riccati

y ' = y 2 - tan x y + sec 2 x

Aí já sabemos que o procedimento é: transformar ela numa de Bernoulli e depois numa linear, resolver a linear e voltar substituindo as variáveis.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer a substituição z = y - y 1 que equivale y = z + y 1 então y = z + tan x

z + tan x ' = z + tan x 2 - tan x z + tan x + sec 2 x

z ' + sec 2 x = z 2 + 2 z tan x + tan 2 x - z tan x - tan 2 x + sec 2 x

z ' = z 2 + 2 z tan x - z tan x

z ' - tan x z = z 2

Que é de Bernoulli.

Passo 3

Resolvendo Bernoulli

z ' - tan x z = z 2

Dividindo a equação por z 2

z ' z 2 - tan x z z 2 = z 2 z 2

z - 2 z ' - tan x z - 1 = 1

Fazendo a substituição u = z - 1 temos u ' = - z - 2 z ' logo - u ' = z - 2 z ' então a equação fica

- u ' - tan x u = 1

u ' + tan x u = - 1

Que agora é linear.

Passo 4

Resolvendo a linear

u ' + tan x u = - 1

Calculando I x

tan x d x = ln sec x

Então I x = e ln sec x = sec x

Temos um problema de módulo aqui, nesse caso para facilitar um pouco as contas vamos considerar apenas o caso onde a secante é positiva.

Então I x = sec x

Calculando I x . B x d x

sec x . - 1 d x = - sec x d x = - ln sec x + tan x

Aqui não precisamos facilitar as contas tirando esse módulo porque essa já é a última integral que vamos fazer.

Então a solução em u é:

u = 1 sec x - ln sec x + tan x + C = cos x - ln sec x + tan x + C

Passo 5

Voltando para a variável z

z - 1 = cos x - ln sec x + tan x + C

z = 1 cos x - ln sec x + tan x + C

Passo 6

Voltando para a variável y

y = z + tan x

y = 1 cos x - ln sec x + tan x + C + tan x

Resposta

y = 1 cos x - ln sec x + tan x + C + tan x

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