Exercícios Resolvidos de Equação de Schrödinger

Ver Teoria

Enunciado

Considere uma partícula deslocando-se em uma dimensão, que chamaremos de eixo O x .

  1. O que significa para a função de onda dessa partícula ser normalizada?
  2. A função de onda ψ x = e a x , onda a é um número real positivo, é normalizada? Essa função poderia ser válida?
  3. Se a partícula descrita pela função de onda ψ x = A e b x , onde A e b são números reais positivos, estiver confinada ao intervalo x ≤ 0 , determine A (inclusive suas unidades) de modo que a função de onda seja normalizada.

Passo 1

a) O que significa para a função de onda dessa partícula ser normalizada?

Para que a função de onda seja normalizada, ela deve obedecer à condição de normalização, dada por:

∫ - ∞ ∞ ψ 2 d x = 1

Portanto, a integral do quadrado da função de onda deve ser igual a um.

Passo 2

b) A função de onda ψ x = e a x , onde a é um número real positivo, é normalizada? Essa função poderia ser válida?

Para que a função de onda seja normalizada, ela deve obedecer à condição de normalização, dada por:

∫ - ∞ ∞ ψ 2 d x = 1

Onde:

ψ x = e a x ;

Logo:

∫ - ∞ ∞ ψ 2 d x = ∫ - ∞ ∞ e 2 a x d x

= e 2 a x 2 a - ∞ ∞ = ∞

A função não é normalizada. A função não é válida.

Passo 3

c) Se a partícula descrita pela função de onda ψ x = A e b x , onde A e b são números reais positivos, estiver confinada ao intervalo x ≤ 0 , determine A (inclusive suas unidades) de modo que a função de onda seja normalizada.

Para que a função de onda seja normalizada, ela deve obedecer à condição de normalização, dada por:

∫ - ∞ ∞ ψ 2 d x = 1

Neste caso:

ψ x = A e b x

Como x ≤ 0 , a condição de normalização será dada por:

∫ - ∞ 0 A 2 e 2 b x d x = 1

A 2 e 2 b x 2 b - ∞ 0 = 1  

A 2 1 2 b - 0 = 1

A = 2 b

Passo 4

De acordo com a condição de normalização, a integral

∫ - ∞ ∞ ψ 2 d x

deve ser igual a um valor adimensional. Como ψ 2 representa a densidade de probabilidade, A deve possuir unidade de medida de forma que o produto de A 2 por uma unidade de comprimento seja adimensional.

Assim:

A = 1 m

Logo:

A = 2 b     m - 1 / 2

Resposta

a)

∫ - ∞ ∞ Ψ 2   d V = 1

A integral da função de densidade de probabilidade entre limites infinitos deve ser igual a um.

b)

Não. Não. Não é uma função de onda válida.

c)

A = 2 b     m - 1 / 2

Exercícios de Livros Relacionados

Exercício de Livro
Qual é a espessura mínima de uma película de sabão (excluindo o caso da espessura nula) para que se forme uma franja escura quando iluminada por luz de comprimento de onda igual a 480n m ? O índice de
Exercício de Livro
Exercício de Livro