Exercícios Resolvidos de Equação de Schrödinger

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Enunciado

Um determinado íon possui apenas um elétron orbitando o núcleo, preparado em uma dada configuração. A incerteza obtida em medidas da componente x da posição desse elétron é Δ x = 900 / π ⋅ 10 - 11   m . Determine a relação de incerteza válida para a componente x da velocidade desse elétron.

a) Δ v x / c ≥ 0,5 ⋅ 10 - 4 .

b) Δ v x / c ≤ 0,5 ⋅ 10 - 4 .

c) Δ v x / c ≥ 1,0 ⋅ 10 - 4 .

d) Δ v x / c ≤ 1,0 ⋅ 10 - 4 .

Passo 1

Fala pessoal, bora resolver mais uma questão de física 4?

Nesse problema vamos usar o princípio da incerteza de Heisenberg:

Δ x   Δ p ≥ ℏ 2

Isso significa que existe um limite de precisão teórico na medição simultânea da posição e do momento. Usando a expressão clássica do momento:

p = m v → Δ p = m   Δ v

Assim,

Δ x   m   Δ v ≥ ℏ 2 = h 4 π → Δ v ≥ h 4 π m Δ x

Podemos escrever ainda,

Δ v c ≥ h c 4 π   m c 2   Δ x

Passo 2

Sabemos que h c = 900   e V   n m e para o elétron m c 2 = 500 ⋅ 10 3   e V (essas informações são dadas na prova, não precisa decorar). Usando Δ x = 900 π ⋅ 10 - 11   m = 9 π   n m :

Δ v c ≥ 900   e V   n m 4 π ⋅ 500 ⋅ 10 3   e V ⋅ 9 π   n m = 900 4 ⋅ 9 ⋅ 500 ⋅ 10 3

Logo,

Δ v c ≥ 0,5 ⋅ 10 - 4

Com isso caímos na alternativa A .

PS: o formulário da prova cozinhou um pouco as constantes numéricas para facilitar um pouco sua vida. Por exemplo, h c é na verdade 1240   e V   n m , e não 900 . Todavia, usei os dados fornecidos na própria prova para bater certinho o resultado...

Resposta

Alternativa A.

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