Exercícios Resolvidos de Equação de Schrödinger

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Enunciado

  1. Mostre que os termos da equação de Schrödinger (Eq.39-18) têm a mesma dimensão.
  2. Qual é a unidade desses termos no SI?

Dado:

Equação 39-18

d 2 ψ d x 2 + 8 π 2 m h 2 E - U ⁡ x ψ = 0

Onde ψ é a função de onda, m é a massa de uma partícula, h é a constante de Planck, E é a energia mecânica total e U ⁡ x é a energia potencial da partícula.

Passo 1

Letra a)

Vamos começar pelo primeiro termo.

d 2 ψ d x 2

Esse termo tem a unidade da função de onda divido pela unidade da variável x ao quadrado, que é x 2 = m 2 . Seja ψ a unidade da função de onda. A unidade desse termo será:

ψ m 2 = ψ ∙ m - 2

Passo 2

Agora vamos para o segundo termo.

8 π 2 m h 2 E - U ⁡ x ψ

A sua unidade vai ser a unidade da função de onda multiplicada pela unidade de 8 π 2 m h 2 E - U ⁡ x .

A unidade de massa é K g . A unidade da constante de Planck é J ∙ s . Logo:

8 π 2 m h 2 = K g J 2 ∙ s 2

A unidade de energia é Joule( J ).A unidade do termo entre colchetes então é Joule. Juntando tudo:

8 π 2 m h 2 E - U ⁡ x = K g J ∙ s 2

Agora, vamos abrir a unidade de energia.

1   J = 1   K g ∙ m s 2

Substituindo:

8 π 2 m h 2 E - U ⁡ x = K g K g ∙ m s 2 ∙ s 2 = m - 2

A unidade do segundo termo vai ser:

m - 2 ∙ ψ

Que é igual a unidade do primeiro termo.

Passo 3

Letra b)

Podemos usar o resultado do item anterior para achar a unidade dos dois termos no SI.

Como a função de onda ao quadrado é a densidade de probabilidade de se encontrar a partícula entre dois pontos do eixo x , a unidade dele é:

ψ 2 = 1 m = m - 1

A unidade da função de onda então vai ser a raiz quadrada disso:

ψ = m - 1 = m - 1 2

A unidade dos termos será:

t e r m o s = m - 2 ∙ m - 1 2 = m - 2 - 1 2 = m - 4 - 1 2

t e r m o s = m - 5 / 2 = m - 2,5

Resposta

Letra a)

Ambos os termos tem unidade de m - 2 ∙ ψ .

Letra b)

t e r m o s = m - 5 / 2 = m - 2,5

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