Exercícios Resolvidos de Equação de Schrödinger

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 238-39.35.

Uma partícula deslocando-se em uma dimensão (o eixo Equation ) é descrita pela função de onda

Equation

Onde Equation , Equation , e o sentido positivo do eixo Equation aponta para a direita.

  1. Determine Equation de modo que a função de onda seja normalizada.
  2. Faça o gráfico da função de onda.
  3. Calcule a probabilidade de se encontrar essa partícula em cada uma das seguintes regiões.
    1. Até Equation da origem
    2. Do lado esquerdo da origem (você pode adivinhar a resposta olhando para o gráfico da função de onda?).
    3. Entre Equation e Equation .

Passo 1

a) Determine Equation de modo que a função de onda seja normalizada.

Para que a função de onda seja normalizada, ela deve obedecer à condição de normalização, dada por:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Onde:

Equation ;

Logo:

Equation

Passo 3

b) Faça o gráfico da função de onda.

A função de onda vai ser algo do tipo:

Passo 4

c) Calcule a probabilidade de se encontrar essa partícula em cada uma das seguintes regiões.

A probabilidade de se encontrar um elétron entre os pontos Equation e Equation , por sua vez, é dada por:

Equation

Passo 5

  1. Até Equation da origem:

Como o problema fala de Equation da origem, vamos calcular a probabilidade de se encontrar uma partícula entre Equation e Equation .

Equation

Para Equation , Equation e para Equation , Equation . Logo:

Equation

Onde:

Equation ;

Equation ;

Logo:

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 6

Do lado esquerdo da origem (você pode adivinhar a resposta olhando para o gráfico da função de onda?):

Do lado esquerdo da origem representa todos os valores negativos de Equation e, de acordo com o gráfico, exatamente a metade do gráfico da função de onda Equation .

Logo, a probabilidade de se encontrar uma partícula nessa região é Equation .

Passo 7

Caso não dê pra identificar isso visualmente, podemos calcular a probabilidade com Equation variando de Equation até Equation .

Equation

Para Equation , Equation . Logo:

Equation

Onde:

Equation ;

Equation ;

Logo:

Equation

Equation

Passo 8

Entre Equation e Equation .

Como estamos calculando a probabilidade em um intervalo onde Equation , Equation . Logo:

Equation

Onde:

Equation ;

Equation ;

Logo:

Equation

Equation

Resposta

a)

Equation

b)

c)

(i): Equation

(ii): Equation

(iii): Equation

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