Exercícios Resolvidos de Equação de Schrödinger

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Enunciado

Uma partícula deslocando-se em uma dimensão (o eixo O x ) é descrita pela função de onda

ψ x = A e - b x ,     p a r a   x ≥ 0   A e b x ,     p a r a   x < 0

Onde b = 2,00   m - 1 , A > 0 , e o sentido positivo do eixo O x aponta para a direita.

  1. Determine A de modo que a função de onda seja normalizada.
  2. Faça o gráfico da função de onda.
  3. Calcule a probabilidade de se encontrar essa partícula em cada uma das seguintes regiões.
    1. Até 50,0   c m da origem
    2. Do lado esquerdo da origem (você pode adivinhar a resposta olhando para o gráfico da função de onda?).
    3. Entre x = 0,500   m e x = 1,0   m .

Passo 1

a) Determine A de modo que a função de onda seja normalizada.

Para que a função de onda seja normalizada, ela deve obedecer à condição de normalização, dada por:

∫ - ∞ ∞ ψ 2 d x = 1

Passo 2

∫ - ∞ ∞ ψ 2 d x = ∫ - ∞ 0 ψ 2 d x + ∫ 0 ∞ ψ 2 d x = 1

= ∫ - ∞ 0 A 2 e 2 b x d x + ∫ 0 ∞ A 2 e - 2 b x d x = 1

= A 2 e 2 b x 2 b - ∞ 0 + - e - 2 b x 2 b 0 ∞ = 1

A 2 2 b 1 - 0 + - 0 + 1 = 1

2 A 2 2 b = A 2 b = 1

A = b

Onde:

b = 2,0   m - 1 ;

Logo:

A = 2   m - 1 / 2

Passo 3

b) Faça o gráfico da função de onda.

A função de onda vai ser algo do tipo:

Passo 4

c) Calcule a probabilidade de se encontrar essa partícula em cada uma das seguintes regiões.

A probabilidade de se encontrar um elétron entre os pontos a e b , por sua vez, é dada por:

p = ∫ a b P x   d x = ∫ a b ψ 2 d x

Passo 5

  1. Até 50,0   c m da origem:

Como o problema fala de 50,0   c m da origem, vamos calcular a probabilidade de se encontrar uma partícula entre - 0,5 e 0,5   m .

p = ∫ - 0,5 0,5 ψ 2 d x = ∫ - 0,5 0 ψ 2 d x + ∫ 0 0,5 ψ 2 d x

Para x < 0 , ψ x = A e b x e para x ≥ 0 , ψ x = A e - b x . Logo:

p = A 2 ∫ - 0,5 0 e 2 b x   d x + A 2 ∫ 0 0,5 e - 2 b x   d x

Onde:

A = 2   m - 1 / 2 ;

b = 2,00   m - 1 ;

Logo:

p = 2 e 4 x 4 - 0,5 0 + - e - 4 x 4 0 0,5

p = 1 2 1 - e - 2 + - e 2 - ( - 1 )

p = 1 2 2 - 2 e - 2 = 1 - e - 2

p = 0,865

Passo 6

Do lado esquerdo da origem (você pode adivinhar a resposta olhando para o gráfico da função de onda?):

Do lado esquerdo da origem representa todos os valores negativos de x e, de acordo com o gráfico, exatamente a metade do gráfico da função de onda ψ x .

Logo, a probabilidade de se encontrar uma partícula nessa região é 0,5   50 % .

Passo 7

Caso não dê pra identificar isso visualmente, podemos calcular a probabilidade com x variando de - ∞ até 0 .

p = ∫ - ∞ 0 ψ 2 d x

Para x < 0 , ψ x = A e b x . Logo:

p = A 2 ∫ - ∞ 0 e 2 b x   d x

Onde:

A = 2   m - 1 / 2 ;

b = 2,00   m - 1 ;

Logo:

p = 2 e 4 x 4 - ∞ 0 = 1 2 1 - 0

p = 1 2 = 0,5

Passo 8

Entre x = 0,500   m e x = 1,0   m .

Como estamos calculando a probabilidade em um intervalo onde x > 0 , ψ x = A e - b x . Logo:

p = ∫ 0,5 1 ψ 2 d x = A 2 ∫ 0,5 1 e - 2 b x   d x

Onde:

A = 2   m - 1 / 2 ;

b = 2,00   m - 1 ;

Logo:

p = 2 - e - 4 x 4 0,5 1 = 1 2 ( - e - 4 + e - 2 )

p = 0,0585

Resposta

a)

1,414   m - 1 / 2

b)

c)

(i): P = 0,865

(ii): P = 1 / 2

(iii): P = 0,0585

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