Exercícios Resolvidos de Equação de Schrödinger

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Enunciado

Uma partícula de massa m e energia E < U 0 que se move da direita para a esquerda incide sobre a barreira de potencial U ( x ) mostrada na figura

(a) Qual a função de onda ψ 1 ( x ) na região 1 ?

(b) Escreva a equação de Schrödinger para a partícula na região 2 ( 0 < x < L ) e determine a solução geral ψ 2 ( x ) nessa região

(c) Escreva a equação de Schrödinger para a partícula na região 3 ( x ≥ L ) e determine a solução geral ψ 3 ( x ) nessa região

(d) Escreva as condições de contorno que as funções de onda determinadas nos trechos 1 , 2 e 3 devem satisfazer. Determine o sistema de equações que as constantes arbitrarias contidas nas soluções da equação de Schrödinger satisfazem (não é necessário resolver o sistema)

Passo 1

Na região 1 temos que a energia potencial é infinita, o que significaria que a partícula teria que ter energia infinita para chegar nessa região! Isso significa que a função é nula na região 1 !

ψ 1 x = 0 , para x ≤ 0

Passo 2

Primeiro ele pede que escrevamos a equação de Schrödinger na região 2 . Nessa região o potencial será U 0

- ℏ 2 2 m d 2 ψ 2 d x 2 + U 0 ψ 2 = E ψ 2

d 2 ψ 2 d x 2 = K 2 ψ 2

onde K = 2 m U 0 - E / ℏ 2 .

Lembrando que E < U 0 , logo esse K é real.

Passo 3

A solução dessa equação será

ψ 2 x = A e K x + B e - K x , para 0 < x < L

Passo 4

Agora vamos escrever a equação de Schrödinger para a região 3 . Nesse caso a energia potencial será nula e estaremos lidando com o problema de elétron livre (leve e solto rs)

- ℏ 2 2 m d 2 ψ 3 d x 2 = E ψ 3

d 2 ψ 3 d x 2 = - k 2 ψ 3

onde k = 2 m E / ℏ 2 .

Passo 5

A solução geral nesse caso agora será

ψ 3 x = C e i k x + D e - i k x , para x ≥ L

Passo 6

Agora vamos ver as condições de contorno. A função de onda tem que ser continua na interface entre as regiões 1 e 2 ( x = 0 ) e entre as regiões 2 e 3 ( x = L ).

Assim para x = 0

ψ 1 0 = ψ 2 0 → 0 = A + B

já que ψ 1 0 = 0 .

Agora para x = L

ψ 2 L = ψ 3 L → A e K L + B e - K L = C e i k L + D e - i k L

A última condição de contorno que falta é que a derivada na função de onda também é contínua.

Como a continuidade da função de onda a continuidade da derivada acontece em x = 0 e x = L , mas para nós só interessará em x = L . Isso porque em x = 0 chegaríamos na mesma equação que a continuidade da função de onda nos deu em x = 0 .

Assim

d ψ 2 d x = d ψ 3 d x → K A e K L - B e - K L = i k ( C e i k L - D e - i k L )

E assim chegamos no sistema de equações obtidas através das condições de contorno

A + B = 0 A e K L + B e - K L = C e i k L + D e - i k L K A e K L - B e - K L = i k C e i k L - D e - i k L

E como o enunciado não pede que resolvamos esse sistema de equações, paramos por aqui! Até a próxima!

Ps: Os curiosos podem ter ser perguntado: Pow, eu tenho 4 incógnitas e 3 equações. Não deveria ter mais uma???”. A resposta é: Sim! A quarta equação vem da normalização da função de onda. Mas como o enunciado nem toca no assunto e diz que não precisa resolver o sistema de equações, a gente deixa pra lá :)

Resposta

  1. ψ 1 x = 0 , para x ≤ 0
  2. ψ 2 x = A e K x + B e - K x , para 0 < x < L
  3. ψ 3 x = C e i k x + D e - i k x , para x ≥ L
  4. A + B = 0 A e K L + B e - K L = C e i k L + D e - i k L K A e K L - B e - K L = i k C e i k L - D e - i k L

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