Exercícios Resolvidos de Equação de Schrödinger

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Enunciado

Uma partícula de massa m e com energia potencial U ( x ) move-se ao longo do eixo x . A função de onda do estado estacionário (estado com energia bem definida) em que a partícula se encontra é dada por

Ψ x ,   t = C e - a x 2 2 e - i b t

onde C , a e b são constantes positivas e reais.

Forneça suas respostas em termos de a , b , m e

(a) Qual é a energia dessa partícula?

(b) Calcule a constante C

(c) Determine U ( x )

(d) Calcule x 2 (valor médio do quadrado da posição)

(e) A incerteza na posição da partícula é dada por Δ x =   x 2 -   x 2 . Sabendo-se que para este sistema   x = 0 , determine a incerteza mínima na medida do momento da partícula.

Passo 1

(a) Energia da partícula

Sabemos que a função de onda de onda para um estado estacionário é o produto de uma parte espacial com uma parte temporal.

Ψ ( x ,   t ) = ψ ( x ) e - i E t / ℏ

Comparando com a função dada pelo enunciado, vemos que os expoentes imaginários têm que ser iguais, ou seja, estamos igualando as partes temporais

- i E t ℏ = - i b t

E = ℏ b

Passo 2

Aqui temos que lembrar que a função de onda tem que ser normalizada

∫ - ∞ ∞ Ψ x ,   t Ψ * ( x ,   t ) d x = 1

Lembrando que Ψ * ( x ,   t ) é o complexo conjugado de Ψ ( x ,   t ) , ou seja

Ψ * x ,   t = C e - a x 2 2 e i b t

No caso aqui só a exponencial complexa que troca o sinal já que o resto é real (o enunciado diz que C é real).

Dessa forma

∫ - ∞ ∞ Ψ x ,   t Ψ * x ,   t d x = ∫ - ∞ ∞ C e - a x 2 2 e - i b t C e - a x 2 2 e i b t d x

∫ - ∞ ∞ Ψ x ,   t Ψ * x ,   t d x = C 2 ∫ - ∞ ∞ e - a x 2 d x

O valor dessa integral de uma gaussiana boladona vai ser

∫ - ∞ ∞ e - a x 2 d x = π a - 1 / 2  

Relaxa que provavelmente vai estar no formulário da sua prova já que ela costuma aparecer bastante nesse tipo de problema e é meio chatinha de calcular! :)

Assim a condição de normalização fica

∫ - ∞ ∞ Ψ x ,   t Ψ * x ,   t d x = C 2 π a - 1 / 2 = 1

C 2 = a π

C = a π 1 / 4

Passo 3

Aqui a gente tem o caso inverso. Geralmente temos que achar a função de onda Ψ x ,   t , dado um potencial U x . Agora ele já deu a “solução” pra gente e está pedindo o potencial! Mas eu sei que você é fera e já sacou isso ;)

Para achar esse U ( x ) temos que lembrar da equação de Schrödinger

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ x ,   t ∂ x 2 + U x Ψ x ,   t = i ℏ ∂ Ψ x ,   t ∂ t

Se calcularmos esses termos com as derivadas, uma vez que já sabemos quem é Ψ x ,   t , podemos por meio da equação de Schrödinger achar o potencial U ( x ) !

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas!

O primeiro termo do lado esquerdo é o termo de energia cinética e é dado por

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ x ,   t ∂ x 2 = - ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 C e - a x 2 2 e - i b t = - ℏ 2 2 m C e - i b t ∂ 2 ∂ x 2 e - a x 2 2

E essa derivada dupla será

∂ 2 ∂ x 2 e - a x 2 2 = ∂ ∂ x - a x e - a x 2 2 = - a x 2 e - a x 2 2 - a e - a x 2 2 = e - a x 2 2 ( a 2 x 2 - a )

onde usamos a regra do produto na segunda derivada e malandramente deixamos essa exponencial em evidência no final. O legal disso é que voltando ao nosso termo

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ x ,   t ∂ x 2 = - ℏ 2 2 m C e - i b t ∂ 2 ∂ x 2 e - a x 2 2 = - ℏ 2 2 m C e - i b t e - a x 2 2 ( a 2 x 2 - a )

Ta vendo? Ali no ultimo termo da igualdade? Tá ali a nossa função de onda Ψ x ,   t escondida! Assim

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ x ,   t ∂ x 2 = - ℏ 2 2 m ( a 2 x 2 - a ) Ψ x ,   t

Show! Agora vamos partir para o termo com a derivada temporal (lado direito da equação)

i ℏ ∂ Ψ x ,   t ∂ t = i ℏ ∂ ∂ t C e - a x 2 2 e - i b t = C e - a x 2 2 i ℏ ∂ ∂ t e - i b t

Essa última deriva é mais tranquila agora

∂ ∂ t e - i b t = - i b e - i b t

De forma que

i ℏ ∂ Ψ x ,   t ∂ t = C e - a x 2 2 i ℏ - i b e - i b t = C e - a x 2 2 e - i b t i ℏ - i b =   Ψ x ,   t ℏ b

onde usamos que - i . i = 1

Passo 5

Show agora é só jogar tudo na equação de Schrödinger! Aqui ela

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ x ,   t ∂ x 2 + U x Ψ x ,   t = i ℏ ∂ Ψ x ,   t ∂ t

Substituindo

- ℏ 2 2 m a 2 x 2 - a Ψ x ,   t + U x Ψ x ,   t = ℏ b Ψ x ,   t

agora podemos cortar o Ψ x ,   t e isolar o U ( x )

U x = ℏ b + ℏ 2 2 m a 2 x 2 - a

Passo 6

Sabemos que o valor médio de x 2 é dado por (já substituindo o C encontrado lá no item (b))

x 2 = ∫ - ∞ ∞ x 2 Ψ x ,   t Ψ * x ,   t d x = a π ∫ - ∞ ∞ x 2 e - a x 2 d x

Agora temos uma integral ainda mais boladona para resolver! Uma integral megaboladona!

Essa integral a gente também tem que olhar no formulário! No caso ela será

∫ - ∞ ∞ x 2 e - a x 2 d x = 1 2 π a - 3 / 2

Se liga aí! Pode ser que no seu formulário não apareça essa fórmula bonitinha aqui em cima mas apareça para um x 2 n , ou seja, um caso mais geral! Seria algo do tipo

∫ - ∞ ∞ x 2 n e - a x 2 d x = 1.3 . 5 … ( 2 n + 1 ) π 2 n a ( 2 n + 1 ) / 2

Que quando você substitui n = 1 , seria a equação anterior

Beleza, beleza, voltando para o x 2

x 2 = a π ∫ - ∞ ∞ x 2 e - a x 2 d x = a π 1 2 π a - 3 / 2

x 2 = 1 2 a

Passo 7

Primeiramente, vamos calcular a incerteza na posição

Δ x =   x 2 -   x 2

Como, segundo o enunciado, x = 0 e x 2 já calculamos temos

Δ x = 1 2 a

Passo 8

Vamos lembrar do princípio da incerteza de Heisenberg

Δ x Δ p ≥ ℏ 2

Se sabemos a incerteza da posição a incerteza do momento fica condicionada a

Δ p ≥ ℏ 2 Δ x

Δ p ≥ ℏ a 2

Teremos incerteza mínima quando Δ p for o menor possível, ou seja

Δ p = ℏ a 2

Resposta

  1. E = ℏ b
  2. C = a π 1 / 4
  3. U x = ℏ b + ℏ 2 2 m a 2 x 2 - a
  4. x 2 = 1 2 a
  5. Δ p = ℏ a 2

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