Exercícios Resolvidos de Equação de Schrödinger

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Enunciado

Uma partícula de massa m executa oscilações em uma reta em torno de sua posição de equilíbrio em x = 0 , sujeita a um potencial harmônico dado por U x = m ω 2 x 2 / 2 , com - ∞ < x < ∞ e ω uma constante. A função de onda do estado fundamental da partícula é

ψ x = C exp ⁡ - b x 2 ,

onde b e C são constantes positivas.

  1. Calcule b e a energia E 0 do estado fundamental do oscilador, em termos dos parâmetros dados: m , , e ω .
  2. Calcule a constante C .
  3. Qual é a probabilidade de encontrar a partícula na região x ≥ 0 .

Passo 1

Letra a)

A equação de Schrödinger é:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U x ψ x = E ψ ( x )

Como a energia potencial neste caso é U x = m ω 2 x 2 / 2 , a equação de Schrödinger fica:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + m ω 2 x 2 2 ψ x = E ψ ( x )

Mas o enunciado nos diz que:

ψ x = C e - b x 2

Vamos ver sua derivada segunda:

d ψ d x = - 2 b x ∙ C e - b x 2

d ψ 2 d x 2 = - 2 b C e - b x 2 + 4 b 2 x 2 ∙ C e - b x 2

Substituindo tudo na equação:

- ℏ 2 2 m ∙ - 2 b C e - b x 2 + 4 b 2 x 2 ∙ C e - b x 2 + m ω 2 x 2 2 ∙ C e - b x 2 = E C e - b x 2

Dividindo tudo por C e - b x 2 , vamos ficar com o seguinte:

ℏ 2 2 b 2 m - ℏ 2 4 b 2 x 2 2 m = E - m ω 2 x 2 2

Em ambos os lados eu tenho um polinômio de segundo grau!

Deixa eu dar uma ajeitada pra você poder enxergar:

2 ℏ 2 b 2 m x 2 - b ℏ 2 m = m ω 2 2 x 2 - E

Para dois polinômios de mesmo grau serem iguais, os coeficientes deles têm que ser iguais! Uma outra forma de ver isso, é colocando tudo do mesmo lado:

2 ℏ 2 b 2 m - m ω 2 2 x 2 + E - b ℏ 2 m = 0

Essa equação tem que ser igual a zero pra QUALQUER valor de x ! Por isso, o que está entre parênteses tem que ser zero.

2 ℏ 2 b 2 m = m ω 2 2

E = b ℏ 2 m

Passo 2

Com as duas igualdades que deduzimos, podemos achar b e E 0 .

2 ℏ 2 b 2 m = m ω 2 2

b 2 = m 2 ω 2 4 ℏ 2

b = m ω 2 ℏ

Agora usando esse valor de b na igualdade da energia:

E = b ℏ 2 m = m ω ℏ 2 2 ℏ m = ω ℏ 2

Passo 3

Letra b)

Para calcular a constante C , precisamos normalizar a função de onda.

∫ - ∞ ∞ ψ 2 x d x = 1

Sendo que:

ψ x = C exp ⁡ - b x 2 →     ψ 2 x = C 2 e - 2 b x 2

Integrando:

∫ - ∞ ∞ C 2 e - 2 b x 2 d x = 1

Agora eu vou roubar. Na prova, no formulário, a integral da esquerda é uma das que deveriam ser dadas. De fato, nesta prova ela havia sido dada mesmo.

∫ - ∞ ∞ e - a x 2 d x = π a

O motivo desta ter que ser dada é que ela não é simples de resolver. Ela é uma integral chamada “integral gaussiana”, e as formas de achar o valor dela são todas meio maceteadas, tipo jogar vídeo game com hack.

O que importa é que no nosso caso, a = 2 b , e assim:

C 2 ∙ π 2 b = 1

C 2 = 2 b π = m ω ℏ π 1 / 2  

Além disso:

ℏ = h 2 π ;       ℏ π = h / 2

E assim:

C = m ω ℏ π 1 / 4 = 2 m ω h 1 / 4

Passo 4

Letra c)

Vamos roubar mais um pouquinho. Vamos voltar pra condição de normalização.

∫ - ∞ ∞ ψ 2 x d x = 1

Podemos separar ela em duas:

∫ - ∞ 0 ψ 2 x d x + ∫ 0 ∞ ψ 2 x d x = 1

Agora vem a magia. Lembra que

ψ 2 x = C 2 e - 2 b x 2

Nota que ψ 2 - x = C 2 e - 2 b - x 2 = C 2 e - 2 b x 2 = ψ 2 x

Isso significa que as duas integrais são exatamente iguais! Saca só:

∫ - ∞ 0 ψ 2 x d x

Fazendo x ' = - x :

ψ 2 x ' = C 2 e - 2 b x 2 = ψ 2 x

Temos também d x ' = - d x e:

∫ - ∞ 0 ψ 2 x d x = ∫ ∞ 0 - ψ 2 x ' d x ' = ∫ 0 ∞ ψ 2 x ' d x ' = ∫ 0 ∞ C 2 e - 2 b x ' 2 d x '

Se ambas as integrais são iguais e somam 1 , então cada uma vale 1 / 2 .

P x ≥ 0 = ∫ 0 ∞ ψ 2 x d x = 1 2

Resposta

Letra a)

b = m ω 2 ℏ

E = ω ℏ 2

Letra b)

C = m ω ℏ π 1 / 4 = 2 m ω h 1 / 4

Letra c)

P x ≥ 0 = 1 2

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