Exercícios Resolvidos de Estimadores

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Enunciado

O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de 0,05 m m e um desvio padrão de 0,01 m m .

  1. O departamento de qualidade decidiu amostrar 49 impressoras para verificar seu correto funcionamento, isto é, que o diâmetro do ponto produzido esteja dentro dos critérios de conformidade da produção, e para o qual tolera um erro de 5 % com relação a sua média. Qual a probabilidade de que o ponto médio esteja dentro do intervalo de conformidade?

Passo 1

Vamos chamar de:

D : d i â m e t r o   d o   p o n t o   p r o d u z i d o

E sabemos que:

D   ~   N o r m a l ( 0,05   ;   0,01 2 )

Letra c)

Temos uma amostra com 49 impressoras:

n = 49

E queremos calcular a probabilidade do diâmetro médio dessas impressoras esteja dentro de certa tolerância. Vamos ter que analisar então nossa média amostral D - desses diâmetros:

D - = D 1 + D 2 + D 3 + … D 49 49

E sabemos que, para amostras obtidas a partir de uma população Normal:

E x - = μ     e       V a r x - = σ 2 n

Então:

E D - = 0,05       e       V a r D - = 0,01 ² 49

A tolerância de erro pedida é 5% em relação a média. Então, toleramos diâmetros dentro do intervalo:

μ ∓ 0,05 μ = ( μ - 0,05 μ   ;   μ + 0,05 μ )

Como μ = 0,05 :

0,05 μ = 0,0025

Então o intervalo tolerável fica:

( 0,0475   ;   0,0525 )

E queremos calcular a probabilidade de D - estar dentro dele, ou seja:

P 0,0475 < D - < 0,0525

Padronizando isso aí:

P 0,0475 - 0,05 0,01 49 < Z < 0,0525 - 0,05 0,01 49

= P - 1,75 < Z < 1,75 = P ( | Z | < 1,75 )

Usando os paranauê da Normal pra tirar esse módulo daí:

P Z < 1,75 = 2 P Z < 1,75 - 1 = 2 ϕ 1,75 - 1

= 2 × 0,9599 - 1 = 0,9198

Então a probabilidade do diâmetro médio estar dentro do intervalo é de 91,98 % !

Resposta

91,98 %

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