Exercícios Resolvidos de Estimadores

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Enunciado

Num estudo sobre o peso dos brasileiros, foram pesadas 1000 pessoas escolhidas de forma aleatória. Os resultados desta amostra podem ser denotados por x 1 ,   x 2 ,   … ,   x 1000 . Seja X a variável aleatória representando o peso de um brasileiro selecionado ao acaso. Admita que são conhecidos E X = µ , V a r X = σ 2 e P X > 100 = p a probabilidade de que um brasileiro pese mais que 100 kg.

  1. Sugerir um estimador para o peso médio dos brasileiros, e um estimador para a proporção de pessoas pesando mais que 100   k g .
  2. Expresse a média e a variância destes estimadores, em função de µ , σ ² e p .
  3. X ¯ teria a mesma distribuição se estivéssemos amostrando 1000 pessoas sem reposição dentro de uma cidade cuja população é de 2000 pessoas para estudar o comportamento do peso nesta cidade? (Justificar).

Passo 1

(a)

A gente aprendeu que um bom estimador para o peso médio e para a proporção são e média amostral x ¯ e a proporção amostral p ^ . São elas que vamos usar.

Nosso estimador para o peso médio da população será:

x ¯ = ∑ i = 1 1000 x i 1000

Certo? Soma de todos os pesos, divididos pela quantidade total de pessoas da amostra que é 1000 .

Passo 2

Para a proporção de pessoas com mais de 100 k g ... pensa comigo!

Essa proporção nada mais é do que o número de pessoas com mais de 100 k g dividido pela quantidade total de pessoas, certo? Como que a gente faz pra contabilizar o número de pessoas com mais de 100 k g ?

Vou chamar uma variável Y :

Y = 1                   s e   x i > 100 0       c a s o   c o n t r á r i o

Show? Aí quando eu fizer ∑ i = 1 1000 y i   eu vou tá contabilizando o total de pessoas com mais de 100 k g da nossa amostra.

Aí nosso estimador será:

p ^ = ∑ i = 1 1000 y i 1000

Passo 3

(b)

Vamos lá, vamos usar as propriedades da esperança e da variância.

E X ¯ = E ∑ x i 1000

= 1 1000 . ∑ E x i

O enunciado disse que E X = μ ... ∑ i = 1 1000 E ( x i )   vai ser igual a 1000 μ .

Daí:

E X ¯ = μ

Passo 4

V a r X ¯ = V a r ∑ x i 1000

= 1 1000 ² . ∑ V a r x i

O enunciado disse que V a r X = σ ² ... ∑ i = 1 1000 V a r ( x i )   vai ser igual a 1000 σ ² . Já que são mil x i e cada um tem variância igual a σ ² .

Daí:

V a r X ¯ = σ 2 1000

Passo 5

Agora para a proporção...

E p ^ = E ∑ i = 1 1000 y i 1000

= 1 1000 . ∑ i = 1 1000 E y i

Sendo que cada variável y i segue uma distribuição de Bernoulli, concorda? Ela só tem dois possíveis (sucesso ou fracasso) que é ter ou não mais de 100 k g , a prob. de sucesso é conhecido P X > 100 = p .

Se segue uma distribuição Bernoulli a gente conhece sua esperança e variância.

E y i = p     p r o b .   d e   s u c e s s o

V a r y i = p 1 - p

Sabendo disso e voltando ali em cima a gente fica com:

E p ^ = 1000 p 1000 = p

Passo 6

Para a variância:

V a r p ^ = V a r ∑ i = 1 1000 y i 1000

= 1 1000 ² . ∑ i = 1 1000 V a r y i

Como a gente viu ali em cima... V a r y i = p 1 - p . Daí:

= 1000 p 1 - p 1000 2

V a r p ^ = p 1 - p 1000

Passo 7

(c)

Não, porque pensa comigo... quando a população é infinita ou não estimada, qualquer amostra que você tira dela é uma amostra aleatória... quando você tem uma população finita de 2000 pessoas e vai retirar uma amostra de 1000 pessoas, sua amostra já não é mais tão aleatória assim, os x i ' s já não são independentes. Você está retirando metade da população na sua amostra.

Resposta

a   x ¯ = ∑ i = 1 1000 x i 1000   e   p ^ = ∑ i = 1 1000 y i 1000

b   E X ¯ = μ ,   V a r X ¯ = σ 2 1000     e     E p ^ = p ,   V a r p ^ = p 1 - p 1000

c   N ã o

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