Exercícios Resolvidos de Estimadores

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Enunciado

Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é Normalmente distribuída com variância igual a 4   u n i d a d e s 2 . Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 obtendo-se os seguintes valores: 7,9 6,8 5,4 7,5 7,9 6,4 8,0 6,3 4,4 5,9. Sendo: ∑ x i = 66,5 e ∑ x i 2 = 455,29 .

  1. Elabore um procedimento para testar a afirmação do fabricante de que a média populacional da resistência é de pelo menos 7,8 contra a alternativa de que ela é estritamente menor que esse valor. Qual a sua conclusão ao nível α = 1 % ?
  2. Qual seria o p -valor deste teste?
  3. Como você procederia, e qual seria a sua conclusão, se no item (a) não fosse conhecida a variância populacional?

Passo 1

(a)

Vamos primeiro definir nossas hipóteses né:

H 0 :   μ ≥ 7,8

H 1 :   μ < 7,8

Repara que pra esse teste de hipótese pra média populacional a gente conhece valor de σ .

σ = 4 = 2

E x ¯ = 66,5 10 = 6,65 .

Nossa estatística de teste é:

Z = x ¯ - μ 0 σ n

Passo 2

Como de acordo com as nossas hipóteses estamos num caso unilateral, nossa região de rejeição será definida por:

Z < z α

Sendo que α = 0,01

Z < z 0,01 = - 2,33

Usando a estatística de teste..

Nossa estatística de teste é:

6,65 - 7,8 2 10 = - 1,82

Como o valor - 1,82 é maior que - 2,33 , então estamos na região de aceitação e a decisão correta seria aceitar H 0 .

Passo 3

(b)

O p-valor para esse teste seria:

P Z < - 1,82 =   ?

P ( Z < - 1,82 = P ( Z > 1,82 )

                                                                    = 1 - P Z < 1,82

                                                    = 1 - Φ 1,82

Olhando na tabela...

                                              = 1 - 0,9656

                            = 0,0344

Passo 4

(c)

Sem conhecer o valor de σ , o que que a gente faria?

A gente vai passar a usar o valor de s e a distribuição t   d e   s t u d e n t .

Calcular s ..

s 2 = 455,29 - 10 × 6,65 2 9 = 1,4517

s = 1,205

E a nossa estatística de teste será:

T = x ¯ - μ 0 s n

Passo 5

A região de rejeição será dada por..

T < t 0,01

Lembra que vão ser 9 graus de liberdade já que n = 10 .

t 0,01 = - t 0,99 = - 2,821

T < - 2,821

Agora calculando a estatística de teste..

6,65 - 7,8 1,205 10 = - 3,02

Como - 3,02 é menor que - 2,821 , estamos dentro da região de rejeição.

A decisão correta seria rejeitar a hipótese H 0 .

Resposta

a   A c e i t a r   H 0

b   0,0344

c   R e j e i t a r   H 0

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