Exercícios Resolvidos de Estimadores

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,296-3

Suponha um experimento consistindo de Equation provas de Bernoulli, com propriedades de sucesso Equation . Seja X o número de sucessos, e considere os estimadores

a) Equation

b) Equation

Determine a esperança e variância de cada estimador. Por que Equation não é um “bom” estimador?

Passo 1

Vamos olhar para cada um separadamente para poder comparar os mesmos ok?

- Equation

Como Equation não possui restrição nenhuma, ou seja, estamos olhando para todas as tentativas, podemos perceber que temos uma Distribuição Binomial.

Equation

E sabemos que em uma binomial,

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Portanto

Equation

Como Equation

Equation

E

Equation

Equation

Passo 3

Olhando para Equation ... Vamos identifica-lo?

Note que pela restrição de Equation somente o primeiro resultado importa. Se ele for sucesso dizemos que Equation e caso seja fracasso Equation . Por essa restrição notamos que temos um experimento de Bernoulli para Equation , que é o resultado da primeira prova.

Sabemos que em Bernoulli

Equation

Passo 4

Vamos calcular Equation para avaliar melhor Equation .

Equation

Equation

Passo 5

Comparando Equation e Equation notamos que Equation só assume valores 0 ou 1, pois só observa o primeiro resultado, o que mostra que ele é um pior estimador. Além disso pelas nossar contas vimos que Equation , ou seja, sua variância será sempre maior que do estimador Equation (para todo n maior que 1 né!).

Resposta

Equation é o pior estimador.

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