Ache a centróide ((\bar{x}, \bar{y})) da região ® limitada pelas curvas dadas.
y=\frac{x^{2}}{4}, x y=2, e 3 y=2 x+4, x \geq 1, y \geq 1
y=\frac{x^{2}}{4}, x y=2, e 3 y=2 x+4, x \geq 1, y \geq 1
Passo 1
O problema pede a centróide
da região
limitada pelas curvas
com
e
. Para isso, usaremos as fórmulas
e então
Passo 2
Encontramos os pontos de interseção das três curvas:
.
e
dão
isto é
.
.
e
dão
isto é
.
.
e
dão
isto é
.
Passo 3
Para descobrir como descrever
em função de
, testamos um ponto interior (por ex.
) e concluímos que
- para
a região vai de (hipérbole) até (reta), - para
vai de (parábola) até .
Passo 4
Calculamos a área como soma de duas integrais em
:
Fazendo as integrais, obtém-se
Passo 5
O momento
também se separa em duas partes:
Computando as integrais em
e depois em
, chega-se a
Passo 6
De modo análogo, o momento
é
Passo 7
Finalmente