Ache a centróide ((\bar{x}, \bar{y})) da região ® limitada pelas curvas dadas.
y=\frac{x^{2}}{4}, x y=2, e 3 y=2 x+4, x \geq 1, y \geq 1

Passo 1

O problema pede a centróide (barx,bary) da região R limitada pelas curvas
y=x^24, xy=2 (ou y=2x), 3y=2x+4 (ou y=tfrac23x+tfrac43),
com x>=1 e y>=1. Para isso, usaremos as fórmulas
A=integral duplaR1,dA, Mx=integral duplaRy,dA, My=integral duplaRx,dA,
e então
barx=MyA, bary=MxA

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção das três curvas:
1. y=tfracx^24 e y=tfrac2x dão
x^24=2x Rightarrow x^3=8 Rightarrow x=2, y=1,
isto é B(2,1).
2. y=tfrac2x e y=tfrac23x+tfrac43 dão
2x=23x+43 Rightarrow x=1, y=2,
isto é A(1,2).
3. y=tfracx^24 e y=tfrac23x+tfrac43 dão
x^24=23x+43 Rightarrow x=4 (descartamos x<1), y=4,
isto é C(4,4).

Passo 3

Para descobrir como descrever R em função de x, testamos um ponto interior (por ex. (2,5,2,5)) e concluímos que
  • para 1<= x<= 2 a região vai de y=2x (hipérbole) até y=23x+43 (reta),
  • para 2<= x<= 4 vai de y=x^24 (parábola) até y=23x+43.

Passo 4

Calculamos a área como soma de duas integrais em x:
A=integral1^2l(tfrac23x+tfrac43-tfrac2xr)dx +integral2^4l(tfrac23x+tfrac43-tfracx^24r)dx
Fazendo as integrais, obtém-se
A=l[tfrac13x^2+tfrac43x-2ln xr]1^2 +l[tfrac13x^2+tfrac43x-tfrac112x^3r]2^4 =133-2ln2

Passo 5

O momento Mx=integral duplaRy,dA também se separa em duas partes:
Mx=integral1^2!!integraltfrac2x^tfrac23x+tfrac43y,dy,dx +integral2^4!!integraltfracx^24^tfrac23x+tfrac43y,dy,dx
Computando as integrais em y e depois em x, chega-se a
Mx=345

Passo 6

De modo análogo, o momento My=integral duplaRx,dA é
My=integral1^2xl(tfrac23x+tfrac43-tfrac2xr)dx +integral2^4xl(tfrac23x+tfrac43-tfracx^24r)dx =7

Passo 7

Finalmente
barx=MyA =7tfrac133-2ln2 =2113-6ln2, bary=MxA =tfrac345tfrac133-2ln2 =1025,(13-6ln2)

Resposta

(barx,bary) =l(2113-6ln2,;1025,(13-6ln2)r)

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