(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
24 \frac{x{2}}{16}-\frac{y{2}}{9}=1
24 \frac{x{2}}{16}-\frac{y{2}}{9}=1
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
que é uma hipérbole centrada na origem com eixos coordenados. Vamos, nesta ordem, (a) achar as interseções com os eixos, (b) discutir simetrias, (c) obter as seções por retas paralelas aos eixos coordenados, (d) indicar os traços, (e) identificar o tipo de cônica e seus parâmetros principais, e (f) esboçar o gráfico.
Passo 2
Interseções com os eixos coordenados
- No eixo
fazemos , fica , sem solução real, logo não há intercepto em . - No eixo
fazemos , fica , isto é , daí
Portanto os interceptos são
e
.
Passo 3
Simetria
A equação envolve apenas potências pares de e
, logo é invariante por
A equação envolve apenas potências pares de
-
(simetria em relação ao eixo ), -
(simetria em relação ao eixo ), - e portanto também por
(simetria central na origem).
Passo 4
Seções por retas paralelas aos eixos
- Corte por
fixo:
sempre dois pontos reais para todo
.
2. Corte por fixo:
2. Corte por
isto existe (dois pontos reais) somente se
; se
não há interseção.
Passo 5
Traços (interseções com os eixos coordenados)
- Traço no plano
: pontos . - Traço no plano
: nenhum ponto real.
Passo 6
Identificação da cônica
É uma hipérbole de centro na origem, eixo transverso horizontal de semieixo
É uma hipérbole de centro na origem, eixo transverso horizontal de semieixo
e semieixo conjugado
Os focos ficam em
com
As assíntotas são as retas
Passo 7
Esboço do gráfico
- Marcar o centro
e os vértices . - Traçar as assíntotas
. - Desenhar as duas ramas da hipérbole aproximando-se das assíntotas e passando pelos vértices.
Resposta
(a) Interseções:
e
; sem interceptos em
.
(b) Simetria em ,
e central na origem.
(c) Corte por :
(sempre real); corte por
:
(real só se
).
(d) Traços: no eixo em
; no eixo
nenhum.
(e) Hipérbole centrada na origem, ,
, focos em
, assíntotas
.
(f) Gráfico: duas ramas horizontais que passam por e se aproximam das retas
.
(b) Simetria em
(c) Corte por
(d) Traços: no eixo
(e) Hipérbole centrada na origem,
(f) Gráfico: duas ramas horizontais que passam por