(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
24 \frac{x{2}}{16}-\frac{y{2}}{9}=1

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
x^216-y^29=1,
que é uma hipérbole centrada na origem com eixos coordenados. Vamos, nesta ordem, (a) achar as interseções com os eixos, (b) discutir simetrias, (c) obter as seções por retas paralelas aos eixos coordenados, (d) indicar os traços, (e) identificar o tipo de cônica e seus parâmetros principais, e (f) esboçar o gráfico.

Passo 2

Interseções com os eixos coordenados
  • No eixo y fazemos x=0, fica -tfracy^29=1, sem solução real, logo não há intercepto em y.
  • No eixo x fazemos y=0, fica tfracx^216=1, isto é x^2=16, daí
x=pm 4
Portanto os interceptos são (4,0) e (-4,0).

Passo 3

Simetria
A equação envolve apenas potências pares de x e y, logo é invariante por
  • xmapsto -x (simetria em relação ao eixo y),
  • ymapsto -y (simetria em relação ao eixo x),
  • e portanto também por (x,y)mapsto(-x,-y) (simetria central na origem).

Passo 4

Seções por retas paralelas aos eixos
  1. Corte por y=k fixo:
x^216-k^29=1 ;Longrightarrow; x^2=16l(1+k^29r) ;Longrightarrow; x=pm 4raiz1+k^29,
sempre dois pontos reais para todo k.
2. Corte por x=h fixo:
h^216-y^29=1 ;Longrightarrow; y^29=h^216-1 ;Longrightarrow; y=pm 3raizh^216-1,
isto existe (dois pontos reais) somente se |h|>=4; se |h|<4 não há interseção.

Passo 5

Traços (interseções com os eixos coordenados)
  • Traço no plano y=0: pontos (pm4,0).
  • Traço no plano x=0: nenhum ponto real.

Passo 6

Identificação da cônica
É uma hipérbole de centro na origem, eixo transverso horizontal de semieixo
a=4,
e semieixo conjugado
b=3
Os focos ficam em (pm c,0) com
c=raiza^2+b^2=raiz16+9=5
As assíntotas são as retas
y=pmba,x ;=;pm34,x

Passo 7

Esboço do gráfico
  1. Marcar o centro (0,0) e os vértices (pm4,0).
  2. Traçar as assíntotas y=pmtfrac34x.
  3. Desenhar as duas ramas da hipérbole aproximando-se das assíntotas e passando pelos vértices.

Resposta

(a) Interseções: (4,0) e (-4,0); sem interceptos em y.
(b) Simetria em xmapsto -x, ymapsto -y e central na origem.
(c) Corte por y=k: x=pm4raiz1+k^2/9 (sempre real); corte por x=h: y=pm3raizh^2/16-1 (real só se |h|>=4).
(d) Traços: no eixo x em (pm4,0); no eixo y nenhum.
(e) Hipérbole centrada na origem, a=4, b=3, focos em (pm5,0), assíntotas y=pm34x.
(f) Gráfico: duas ramas horizontais que passam por (pm4,0) e se aproximam das retas y=pmtfrac34x.

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