5.15 Água está escoando em um canal trapezoidal a uma vazão de Q=20 m^3 / s. A profundidade crítica y para tal canal deve satisfazer a equação
0=1-Q^2g Ac^3 B
onde g=9,81 m / s^2, Ac é a área da seção transversal (m^2), e B é a largura do canal na superfície (m). Para esse caso, a largura e a área transversal podem ser relacionadas à profundidade y por
B=3+y e Ac=3 y+y^22
Encontre a profundidade crítica usando (a) o método gráfico, (b) a bissecção e (c) a falsa posição. Para (b) e (c), use aproximações iniciais de xl=0,5 e xu=2,5, e itere até que o erro aproximado fique abaixo de 1 % ou que o número de iterações ultrapasse 10 . Discuta seus resultados.

Passo 1

O enunciado pede a profundidade crítica y num canal trapezoidal, que é raiz da equação
0 = 1 - Q^2g cdot Ac^3 cdot B
com Q=20, m^3/s, g=9,81, m/s^2, largura da superfície B=3+y e área de seção Ac=3y+tfracy^22. Vamos aplicar três métodos numéricos de raiz: gráfico, bissecção e falsa posição.

Passo 2

Definimos a função
f(y)=1 - Q^2g,[Ac(y)]^3;B(y),
onde
B(y)=3+y, Ac(y)=3y+y^22
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f(y)=1 - 4009,81,[,3y+tfracy^22,]^3;(3+y)

Passo 3

Método gráfico: avaliamos f(y) em vários pontos para ver onde muda de sinal.
f(0,5)&approx -32,2, f(1,0)&approx -2,80, f(1,5)&approx -0,036, f(1,6)&approx +0,16, f(2,5)&approx +0,81
Vemos que a raiz está entre y=1,5 e 1,6. Graficamente, estima-se
yrm crapprox1,51 m

Passo 4

Método da bissecção com xl=0,5, xu=2,5, até erro aproximado <1% ou 10 iterações. Como f(xl)<0 e f(xu)>0, definimos
ci=xl+xu2
Iterando, obtemos (resumo):
i =1: c=1,5000,;f(c)approx-0,036
i =2: c=2,0000,;f(c)approx+0,602
i =3: c=1,7500,;f(c)approx+0,379
i =4: c=1,6250,;f(c)approx+0,208
i =5: c=1,5625,;f(c)approx+0,097
i =6: c=1,5313,;f(c)approx+0,036
i =7: c=1,5156,;f(c)approx+0,0046
i =8: c=1,5078,;f(c)approx-0,0120,;varepsilonrm aapprox0,52%.
Como varepsilonrm a<1% em 8 iterações,
yrm crapprox1,5078 m

Passo 5

Método da falsa posição com o mesmo intervalo. A cada iteração calcula-se
c = xu - f(xu);xl-xuf(xl)-f(xu)
As primeiras três iterações dão
c1approx2,4508,;c2approx2,4036,;c3approx2,3583,
com redução muito lenta. Após 10 iterações chega-se a
yrm crapprox2,08 m, varepsilonrm aapprox1,7%>1%,
ou seja, não atinge a tolerância em 10 iterações.

Passo 6

Comparando os métodos:
  • Gráfico dá uma boa estimativa inicial ( 1,51,m).
  • Bissecção converge de forma robusta e atingiu a tolerância em 8 iterações com yapprox1,5078,m.
  • Falsa posição “estagnou” perto do limite superior e não alcançou 1% em 10 iterações, retornando um valor distante ( sim 2,08,m).

Resposta

(a) Pela análise gráfica, yrm crapprox1,51,m.
(b) Pelo método da bissecção, yrm crapprox1,5078,m ( 8 iterações).
(c) Pela falsa posição, em 10 iterações obteve-se yrm crapprox2,08,m, sem atingir varepsilonrm a<1%.

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