5.15 Água está escoando em um canal trapezoidal a uma vazão de
. A profundidade crítica
para tal canal deve satisfazer a equação
onde
é a área da seção transversal
, e
é a largura do canal na superfície (m). Para esse caso, a largura e a área transversal podem ser relacionadas à profundidade
por
Encontre a profundidade crítica usando (a) o método gráfico, (b) a bissecção e (c) a falsa posição. Para (b) e (c), use aproximações iniciais de
e
, e itere até que o erro aproximado fique abaixo de
ou que o número de iterações ultrapasse 10 . Discuta seus resultados.
Passo 1
O enunciado pede a profundidade crítica
num canal trapezoidal, que é raiz da equação
com
,
,
,
, largura da superfície
e área de seção
. Vamos aplicar três métodos numéricos de raiz: gráfico, bissecção e falsa posição.
Passo 2
Definimos a função
onde
Logo
Passo 3
Método gráfico: avaliamos
em vários pontos para ver onde muda de sinal.
Vemos que a raiz está entre
e
. Graficamente, estima-se
Passo 4
Método da bissecção com
,
, até erro aproximado
ou
iterações. Como
e
, definimos
Iterando, obtemos (resumo):
i
:
i :
i :
i :
i :
i :
i :
i :
.
i
i
i
i
i
i
i
Como
em
iterações,
Passo 5
Método da falsa posição com o mesmo intervalo. A cada iteração calcula-se
As primeiras três iterações dão
com redução muito lenta. Após
iterações chega-se a
ou seja, não atinge a tolerância em
iterações.
Passo 6
Comparando os métodos:
- Gráfico dá uma boa estimativa inicial (
,m). - Bissecção converge de forma robusta e atingiu a tolerância em
iterações com ,m. - Falsa posição “estagnou” perto do limite superior e não alcançou
em iterações, retornando um valor distante ( ,m).
Resposta
(a) Pela análise gráfica,
,m.
(b) Pelo método da bissecção, ,m (
iterações).
(c) Pela falsa posição, em iterações obteve-se
,m, sem atingir
.
(b) Pelo método da bissecção,
(c) Pela falsa posição, em