5.9 Encontre a menor raiz positiva da função x^2|cos raizx|=5 ( x está em radianos) usando o método da falsa posição. Para localizar a região na qual estão as raízes, inicialmente trace a função para valores de x entre 0 e 5 . Faça os cálculos até que varepsilona fique abaixo de varepsilons=1 %. Verifique sua resposta final substituindo-a na função original.

Passo 1

O enunciado pede a menor raiz positiva da função
x^2,lvert cosraizxrvert = 5
usando o método da falsa posição até que o erro relativo aproximado varepsilona fique abaixo de varepsilons=1%. O conteúdo aqui é identificação de intervalo raiz e aplicação iterativa do método da falsa posição para resolução numérica de equações não-lineares.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
g(x) = x^2,lvert cosraizxrvert - 5
e avaliamos alguns pontos entre 0 e 5 para encontrar uma troca de sinal:
g(0)= -5,
g(1)=1^2lvertcos1rvert-5approx -4,46,
g(2.5)approx -4,93,
g(3)approx 9lvertcosraiz3rvert-5approx -3,56,
g(4)approx16lvertcos2rvert-5approx +1,66.
Logo, há troca de sinal em [3,4].

Passo 3

Escolhemos o intervalo inicial
a = 3, b = 4, g(a)approx -3,56, g(b)approx +1,66
Como g(a),g(b)<0, esse intervalo contém a raiz procurada.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da falsa posição
xr = b - g(b),a - b,g(a)-g(b),
Iteração 1:
a1=3, b1=4,
xr1 =4 - (1,6568),3-4-3,5588 - 1,6568 approx3,6822,
g(xr1)approx 3,6822^2lvertcosraiz3,6822rvert -5 approx -0,3230
Como g(xr1)<0, o novo intervalo é [3,6822,,4].

Passo 5

Iteração 2:
a2=3,6822, b2=4,
xr2 =4 - (1,6568),3,6822-4-0,3230 - 1,6568 approx3,7340,
g(xr2)approx -0,0650,
varepsilona2 =llvert3,7340-3,68223,7340rrverttimes100%approx1,38%>1%
Iteração 3:
a3=3,7340, b3=4,
xr3 =4 - (1,6568),3,7340-4-0,0650 - 1,6568 approx3,7438,
g(xr3)approx +0,0037,
varepsilona3 =llvert3,7438-3,73403,7438rrverttimes100%approx0,26%<1%
Como varepsilona3<varepsilons, paramos aqui e adotamos xapprox3,7438.

Passo 6

Verificação:
f(3,7438) =3,7438^2,lvertcosraiz3,7438rvert approx14,02times0,3570approx5,0037approx5,
confirmando que encontramos bem a raiz.

Resposta

A menor raiz positiva é aproximadamente
x approx 3,7438

Exercícios de Livros Relacionados