5.5 Localize a primeira raiz não-trivial de sen x=x^3, onde x está em radianos. Use uma técnica gráfica e a bissecção com o intervalo inicial de 0,5 a 1 . Faça os cálculos até que varepsilona seja menor do que varepsilons=2 %. Faça também uma verificação do erro substituindo sua resposta final na equação original.

Passo 1

O enunciado pede a primeira raiz não-trivial da equação
sin x = x^3
em radianos, usando método gráfico para localizar o intervalo inicial e, em seguida, aplicar bissecção em [0,5,,1] até que o erro relativo aproximado varepsilona seja menor que varepsilons=2%. O que precisamos:
– Definir f(x)=sin x - x^3.
– Verificar que f(0,5)cdot f(1)<0 para garantir o bracket.
– Iterar a bissecção, calculando o ponto médio e varepsilona.
– Parar quando varepsilona<2%.
– Verificar o resultado substituindo na equação original.

Passo 2

Definimos
f(x) = sin x - x^3
Calculamos nos extremos:
f(0,5)=sin(0,5)-0,5^3approx0,4794-0,125=0,3544>0,
f(1)=sin(1)-1^3approx0,8415-1=-0,1585<0
Como f(0,5)cdot f(1)<0, existe pelo menos uma raiz em [0,5,,1].

Passo 3

Aplicando bissecção e varepsilona definido por
varepsilona=|xnovo-xantigoxnovo|times100%,
temos as seguintes iterações:
1ª iteração:
a1=0,5, b1=1, m1=0,5+12=0,75,
f(m1)=sin(0,75)-0,75^3approx0,6816-0,4219=0,2597>0
Logo o novo intervalo é [0,75,,1].
2ª iteração:
a2=0,75, b2=1, m2=0,875,
f(m2)approx0,7675-0,6699=0,0976>0,
intervalo [0,875,,1],
varepsilona2=0,875-0,750,875times100%approx14,29%
3ª iteração:
a3=0,875, b3=1, m3=0,9375,
f(m3)approx0,8069-0,8230=-0,0161<0,
intervalo [0,875,,0,9375],
varepsilona3=0,9375-0,8750,9375times100%approx6,67%
4ª iteração:
a4=0,875, b4=0,9375, m4=0,90625,
f(m4)approx0,7875-0,7453=0,0422>0,
intervalo [0,90625,,0,9375],
varepsilona4=0,9375-0,906250,90625times100%approx3,45%
5ª iteração:
a5=0,90625, b5=0,9375, m5=0,921875,
f(m5)approxsin(0,921875)-0,921875^3approx0,7970-0,7832=0,0138>0,
intervalo final [0,921875,,0,9375],
varepsilona5=0,921875-0,906250,921875times100%approx1,70%<2%
Parou-se em m5 pois varepsilona5<2%.

Passo 4

Verificação substituindo x=0,921875 em sin x e x^3:
sin(0,921875)approx0,7970,(0,921875)^3approx0,7832,
a diferença l|sin x - x^3r|approx0,0138 é pequena, confirmando a proximidade da raiz.

Resposta

A primeira raiz não-trivial aproximada de sin x = x^3 é
x approx 0,921875 rad

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