5.12 Dada
f(x)=-2 x^6-1,5 x^4+10 x+2
Use a bissecção para determinar o máximo dessa função. Use aproximações iniciais xl=0 e xu=1 e faça iterações até que o erro relativo aproximado fique abaixo de 5 %.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o máximo da função
f(x) = -2x^6 - 1,5,x^4 + 10,x + 2
no intervalo [0,1] usando o método da bissecção aplicado à derivada f'(x). Vamos, portanto, achar a raiz de
f'(x) = 0
em [0,1] e verificar que esse ponto crítico é um máximo. O critério de parada será quando o erro relativo aproximado
Ea approx gl|xr^(k) - xr^(k-1)xr^(k)gr|times 100%
ficar abaixo de 5%.

Passo 2

Primeiro, calculemos a derivada:
f'(x) = ddxl(-2x^6-1,5x^4+10x+2r) = -12,x^5 ;-;6,x^3;+;10
Em xl=0 e xu=1 temos
f'(0) = 10 > 0, f'(1) = -12 - 6 + 10 = -8 < 0,
logo há mudança de sinal e uma raiz em (0,1).

Passo 3

Primeira iteração ( k=1):
xr^(1) = 0 + 12 = 0,5,
f'l(0,5r) = -12(0,5)^5 -6(0,5)^3 +10 = 8,875 > 0
Como f'(xr^(1))>0, substituímos xl 0,5.

Passo 4

Iterações seguintes até ,Ea<5%:
  • k=2: xr^(2) = 0,5 + 12 = 0,75, f'(0,75)approx 4,621>0,
Ea = l|tfrac0,75-0,50,75r|times100%approx33,3%
Atualiza-se xl0,75.
  • k=3: xr^(3) = 0,75 + 12 = 0,875, f'(0,875)approx -0,175<0,
Ea = l|tfrac0,875-0,750,875r|times100%approx14,29%
Atualiza-se xu0,875.
  • k=4: xr^(4) = 0,75 + 0,8752 = 0,8125, f'(0,8125)approx 2,511>0,
Ea = l|tfrac0,8125-0,8750,8125r|times100%approx7,69%
Atualiza-se xl0,8125.
  • k=5: xr^(5) = 0,8125 + 0,8752 = 0,84375, f'(0,84375)approx 1,275>0,
Ea = l|tfrac0,84375-0,81250,84375r|times100%approx3,70%<5%
Como o erro relativo ficou abaixo de 5%, encerramos as iterações.

Passo 5

Adotamos x^* approx 0,84375 como ponto crítico. Note que f' muda de positivo para negativo ao atravessar x^*, indicando um máximo local.

Passo 6

Calculamos o valor da função nesse ponto:
f(0,84375) = -2(0,84375)^6 ;-;1,5(0,84375)^4;+;10(0,84375);+;2 approx 8,96

Resposta

xmaxapprox 0,84375,
f(xmax)approx 8,96.

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