5.2 Determine a raiz real de f(x)=5 x^3-5 x^2+6 x-2 :
(a) Graficamente.
(b) Usando o método da bissecção para localizar a raiz. Use as aproximações iniciais xl=0 e xu=1 e itere até que o erro estimado varepsilona fique abaixo de um nível varepsilons=10 %.

Passo 1

O enunciado pede a raiz real da função
f(x)=5x^3-5x^2+6x-2
pela análise gráfica e pelo método da bissecção com xl=0, xu=1 e tolerância varepsilons=10%. Iremos primeiro usar a inspeção de sinais para estimar onde o gráfico cruza o eixo x, e em seguida aplicar a bissecção até que o erro relativo aproximado varepsilona fique abaixo de 10%.

Passo 2

Para a estimativa gráfica avaliamos alguns pontos chave:
f(0)=5cdot0-5cdot0+6cdot0-2=-2<0,
f(1)=5-5+6-2=4>0
Como f(0) é negativo e f(1) é positivo, há pelo menos uma raiz em (0,1). Refinando com x=0,4 e x=0,45:
f(0,4)approx-0,08<0, f(0,45)approx0,13>0,
logo o cruzamento ocorre em torno de xapprox0,42.

Passo 3

Agora usamos o método da bissecção.
  1. Definimos xl=0, xu=1.
  2. A cada iteração calculamos
xr=xl+xu2,
avaliamos f(xr) e escolhemos o novo intervalo [xl,xr] ou [xr,xu] conforme o sinal de f(xr).
3. Estimamos o erro relativo aproximado por
varepsilona=|xr^(atual)-xr^(anterior)xr^(atual)|times100%
  1. Repetimos até varepsilona<10%.

Passo 4

Executando as iterações:
Iteração 1:
xr,1=0+12=0,5, f(0,5)=0,375>0
Novo intervalo [0,,0,5].
Iteração 2:
xr,2=0+0,52=0,25, f(0,25)approx-0,6<0,
varepsilona=|0,25-0,50,25|times100%=100%
Novo intervalo [0,25,,0,5].
Iteração 3:
xr,3=0,25+0,52=0,375, f(0,375)approx-0,19<0,
varepsilona=|0,375-0,250,375|times100%approx33,3%
Novo intervalo [0,375,,0,5].
Iteração 4:
xr,4=0,375+0,52=0,4375, f(0,4375)approx0,087>0,
varepsilona=|0,4375-0,3750,4375|times100%approx14,3%
Novo intervalo [0,375,,0,4375].
Iteração 5:
xr,5=0,375+0,43752=0,40625, f(0,40625)approx-0,05,
varepsilona=|0,40625-0,43750,40625|times100%approx7,7%<10%
Como varepsilona<10%, parámos aqui.

Resposta

(a) Pela inspeção gráfica e avaliação de pontos, a raiz real fica em torno de xapprox0,42.
(b) Pelo método da bissecção com varepsilons=10%, após 5 iterações obtemos
xapprox0,40625

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