5.8 Encontre a raiz quadrada positiva de 18 usando o método da falsa posição até varepsilons=0,5 %. Use aproximações iniciais xl=4 e xu=5.

Passo 1

O enunciado pede a raiz quadrada positiva de 18 usando o método da falsa posição (regula falsi) até que o erro aproximado percentual seja menor que varepsilons=0,5%. Vamos tratar isso como achar a raiz de
f(x)=x^2-18
no intervalo inicial [xl,xu]=[4,5].

Passo 2

Verificamos o sinal de f nas extremidades para confirmar o bracket:
f(4)=4^2-18=-2<0, f(5)=5^2-18=7>0
Como os sinais são opostos, há raiz em [4,5]. A fórmula da falsa posição é
xr=xl,f(xu)-xu,f(xl)f(xu)-f(xl)

Passo 3

Primeira iteração:
xr1 =4cdot f(5)-5cdot f(4)f(5)-f(4) =4cdot7-5cdot(-2)7-(-2) =28+109 =389approx4,2222
Calculamos
f(4,2222)approx(4,2222)^2-18approx17,8272-18=-0,1728<0,
então substituímos xl4,2222.

Passo 4

Segunda iteração:
xr2 =4,2222cdot f(5)-5cdot f(4,2222)f(5)-f(4,2222) =4,2222cdot7-5cdot(-0,1728)7-(-0,1728) approx29,5554+0,86407,1728 approx4,2414
Como f(4,2414)approx(4,2414)^2-18approx-0,0056<0, atualizamos xl4,2414. Agora calculamos o erro aproximado:
varepsilona =|4,2414-4,22224,2414|times100%approx0,45%

Passo 5

Como varepsilonaapprox0,45%<0,5%, atingimos o critério de parada.

Resposta

A raiz quadrada positiva de 18 obtida é aproximadamente
4,2414

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