7.20 Na análise de sistemas de controle, são desenvolvidas funções de transferência que relacionam matematicamente a dinâmica da entrada de um sistema com sua saída. Uma função de transferência para um sistema de posicionamento de um robô é dada por
onde
é o ganho do sistema,
é a saída do sistema,
é a entrada do sistema e
é a transformada de Laplace complexa de freqüência. Use uma técnica numérica para encontrar as raízes do numerador e do denominador e fatore-os na forma
onde
e
são as raízes do numerador e do denominador, respectivamente.
onde
onde
Passo 1
O enunciado nos dá a função de transferência
e pede para achar numericamente as raízes do numerador e do denominador, factorizando
O conteúdo envolvido é teoria de polinômios (teste de raízes racionais, divisão sintética e fórmula quadrática).
Passo 2
Vamos primeiro ao numerador
Pelo teste de raízes racionais, tentamos valores da forma
. Calculando
logo
é raiz. Dividindo
por
(divisão sintética) obtemos o quociente
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática remanescente
pela fórmula de Bhaskara:
Isso dá
e
.
Passo 4
Portanto as raízes do numerador são
e a fatoração fica
Passo 5
Passamos ao denominador
Pelo mesmo teste,
, logo
é raiz. Dividindo por
cai para
Nesse polinômio novo, testa-se
e acha-se raiz; dividindo por
sobra
Passo 6
Resolvendo
pela fórmula quadrática:
resultando em
e
.
Passo 7
Logo as raízes do denominador são
e