7.20 Na análise de sistemas de controle, são desenvolvidas funções de transferência que relacionam matematicamente a dinâmica da entrada de um sistema com sua saída. Uma função de transferência para um sistema de posicionamento de um robô é dada por
G(s)=C(s)N(s)=s^3+12,5 s^2+50,5 s+66s^4+19 s^3+122 s^2+296 s+192
onde G(s) é o ganho do sistema, C(s) é a saída do sistema, N(s) é a entrada do sistema e s é a transformada de Laplace complexa de freqüência. Use uma técnica numérica para encontrar as raízes do numerador e do denominador e fatore-os na forma
G(s)=(s+a1)(s+a2)(s+a3)(s+b1)(s+b2)(s+b3)(s+b4)
onde ai e bi são as raízes do numerador e do denominador, respectivamente.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência
G(s)=C(s)N(s) =s^3+12,5,s^2+50,5,s+66s^4+19,s^3+122,s^2+296,s+192
e pede para achar numericamente as raízes do numerador e do denominador, factorizando
G(s)=(s+a1)(s+a2)(s+a3)(s+b1)(s+b2)(s+b3)(s+b4)
O conteúdo envolvido é teoria de polinômios (teste de raízes racionais, divisão sintética e fórmula quadrática).

Passo 2

Vamos primeiro ao numerador
p(s)=s^3+12,5,s^2+50,5,s+66
Pelo teste de raízes racionais, tentamos valores da forma s=-1,-2,-3,dots. Calculando
p(-3)=(-3)^3+12,5cdot(-3)^2+50,5cdot(-3)+66=-27+112,5-151,5+66=0,
logo s=-3 é raiz. Dividindo p(s) por (s+3) (divisão sintética) obtemos o quociente
s^2+9,5,s+22

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática remanescente
s^2+9,5,s+22=0
pela fórmula de Bhaskara:
s=-9,5pmraiz(9,5)^2-4cdot1cdot222 =-9,5pmraiz90,25-882 =-9,5pm1,52
Isso dá s=-4 e s=-5,5.

Passo 4

Portanto as raízes do numerador são
a1=3, a2=4, a3=5,5
e a fatoração fica
s^3+12,5,s^2+50,5,s+66=(s+3)(s+4)(s+5,5)

Passo 5

Passamos ao denominador
q(s)=s^4+19,s^3+122,s^2+296,s+192
Pelo mesmo teste, q(-1)=0, logo s=-1 é raiz. Dividindo por (s+1) cai para
s^3+18,s^2+104,s+192
Nesse polinômio novo, testa-se s=-4 e acha-se raiz; dividindo por (s+4) sobra
s^2+14,s+48

Passo 6

Resolvendo
s^2+14,s+48=0
pela fórmula quadrática:
s=-14pmraiz14^2-4cdot1cdot482 =-14pmraiz196-1922 =-14pm22,
resultando em s=-6 e s=-8.

Passo 7

Logo as raízes do denominador são
b1=1, b2=4, b3=6, b4=8
e
s^4+19,s^3+122,s^2+296,s+192=(s+1)(s+4)(s+6)(s+8)

Resposta

G(s) =(s+3)(s+4)(s+5,5)(s+1)(s+4)(s+6)(s+8)

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