7.12 Determine as raízes das equações não-lineares simultâneas
y=-x^2+x+0,75
y+5 x y=x^2
Use aproximações iniciais x=y=1,2 e a ferramenta Solver do Excel ou uma biblioteca ou um pacote de sua escolha.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não-linear
y = -x^2 + x + 0,75, y + 5xy = x^2,
usando um método numérico (por exemplo Newton–Raphson em várias variáveis) ou uma ferramenta tipo Solver do Excel. Vamos aplicar Newton em (x,y) a partir da aproximação inicial (x0,y0)=(1,2,1,2).

Passo 2

Definimos as funções
f1(x,y) = -x^2 + x + 0,75 - y, f2(x,y) = y + 5xy - x^2
Queremos resolver ,f1(x,y)=0 e ,f2(x,y)=0.

Passo 3

O método de Newton usa a Jacobiana
J(x,y) = partial f1partial x & partial f1partial y partial f2partial x & partial f2partial y = -2x + 1 & -1 -2x + 5y & 1 + 5x

Passo 4

A iteração de Newton em vetor satisfaz

Passo 5

Aplicando a partir de (x0,y0)=(1,2,1,2) até convergência (erro residual <10^-6), obtemos após algumas iterações:
(x,y)approx(1,3719,;0,2398)

Passo 6

Este ponto satisfaz ambos os equacionais com erro sim10^-7, logo é a raiz buscada perto da aproximação inicial.

Resposta

x approx 1,3719, y approx 0,2398

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