determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
sumk=2^infty(-1)^k+1 kln k

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
sumk=2^infty(-1)^k+1,kln k
Sabemos que o teste de Leibniz exige, para séries da forma sum(-1)^k bk, três condições:
  1. bk>=0 para todo k.
  2. bk é decrescente (eventualmente).
  3. limktoinftybk=0.

Passo 2

Definimos
bk = kln k,
que é claramente positivo para k>=2. Para aplicar o teste de Leibniz precisaríamos também que bk fosse decrescente e tendesse a zero.

Passo 3

Vamos verificar limktoinftybk. Note que
limktoinftykln k = +infty,
pois k cresce muito mais rápido que ln k. Logo não se satisfaz
limktoinftybk=0

Passo 4

Como condição necessária para que uma série convirja é que o termo geral tenda a zero, e aqui limktoinfty(-1)^k+1bk não existe (mesmo em módulo vai a infty), concluímos imediatamente que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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