determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
Sabemos que o teste de Leibniz exige, para séries da forma
, três condições:
-
para todo . -
é decrescente (eventualmente). -
.
Passo 2
Definimos
que é claramente positivo para
. Para aplicar o teste de Leibniz precisaríamos também que
fosse decrescente e tendesse a zero.
Passo 3
Vamos verificar
. Note que
pois
cresce muito mais rápido que
. Logo não se satisfaz
Passo 4
Como condição necessária para que uma série convirja é que o termo geral tenda a zero, e aqui
não existe (mesmo em módulo vai a
), concluímos imediatamente que a série diverge.
Resposta
A série diverge.