24.8 Você está interessado em medir a velocidade de um fluido em um canal retangular estreito e aberto carregando dejetos de petróleo entre locais em uma refinaria de petróleo. Você sabe que, por causa do atrito no fundo, a velocidade varia com a profundidade do canal. Se os seus técnicos tiverem tempo de fazer apenas duas medidas de velocidade, em que profundidades você diria que eles fizessem essas medidas para obter a melhor estimativa da velocidade média? Faça sua recomendação em termos da percentagem da profundidade total d medida da superfície do fluido. Por exemplo, medir na superfície seria 0 % d, enquanto no fundo seria 100 % d.

Passo 1

O enunciado pede a melhor forma de estimar a velocidade média
Umédia=1dintegral0^du(y),dy é
fazendo só duas medições u(y1) e u(y2). Vamos usar quadratura de Gauss–Legendre de ordem 2 para aproximar esse integral com apenas dois pontos.

Passo 2

A quadratura de Gauss–Legendre de ordem 2 em [-1,1] diz
integral-1^1f(t),dtapprox fl(-tfrac1raiz3r)+fl(tfrac1raiz3r)
Para mudar de [ -1,1] para [0,d], usamos a transformação
y=d2(t+1), t=2yd-1, dy=d2,dt
Então
integral0^du(y),dy =integral-1^1ul(tfracd2(t+1)r)d2,dt approxd2l[u(y1)+u(y2)r],
onde y1,2=tfracd2(1pmtfrac1raiz3).

Passo 3

Logo a aproximação para a média é
Umédiaapprox1dcdotd2l[u(y1)+u(y2)r] =u(y1)+u(y2)2 é
Os pontos são
y1=d2l(1-tfrac1raiz3r)approx0,2113,d, y2=d2l(1+tfrac1raiz3r)approx0,7887,d

Passo 4

Como o enunciado mede a profundidade a partir da superfície (0 % em y=0, 100 % em y=d), os pontos em termos de porcentagem da profundidade total são
100%timesy1dapprox21,13%, 100%timesy2dapprox78,87%

Resposta

Meçam a velocidade a cerca de 21,1% e 78,9% da profundidade total contados a partir da superfície.

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