24.8 Você está interessado em medir a velocidade de um fluido em um canal retangular estreito e aberto carregando dejetos de petróleo entre locais em uma refinaria de petróleo. Você sabe que, por causa do atrito no fundo, a velocidade varia com a profundidade do canal. Se os seus técnicos tiverem tempo de fazer apenas duas medidas de velocidade, em que profundidades você diria que eles fizessem essas medidas para obter a melhor estimativa da velocidade média? Faça sua recomendação em termos da percentagem da profundidade total
medida da superfície do fluido. Por exemplo, medir na superfície seria
, enquanto no fundo seria
.
Passo 1
O enunciado pede a melhor forma de estimar a velocidade média
fazendo só duas medições
e
. Vamos usar quadratura de Gauss–Legendre de ordem 2 para aproximar esse integral com apenas dois pontos.
Passo 2
A quadratura de Gauss–Legendre de ordem 2 em
diz
Para mudar de
para
, usamos a transformação
Então
onde
.
Passo 3
Logo a aproximação para a média é
Os pontos são
Passo 4
Como o enunciado mede a profundidade a partir da superfície (0 % em
, 100 % em
), os pontos em termos de porcentagem da profundidade total são
Resposta
Meçam a velocidade a cerca de
e
da profundidade total contados a partir da superfície.