5.17 O coeficiente de saturação do oxigênio dissolvido em água fresca pode ser calculado pela equação (APHA,1992)
ln os f= & -139,34411+1,575701 times 10^5Ta-6,642308 times 10^7Ta^2 & +1,243800 times 10^10Ta^3-8,621949 times 10^11Ta^4
onde os f é a concentração de saturação do oxigênio dissolvido em água fresca a 1 atm(mg / L) e Ta é a temperatura absoluta (K). Lem-bre-se de que Ta=T+273,15, onde T é a temperatura ( ^circ C). De acordo com essa equação, a saturação diminui com o aumento da temperatura. Para águas naturais típicas em climas temperados, a equação pode ser usada para determinar a variação da concentração de oxigênio de 14,621 mg / L a 0^circ C até 6,413 mg / L a 40^circ C. Dado um valor da concentração de oxigênio, essa fórmula e o método da bissecção podem ser usados para determinar a temperatura em ^circ C.
(a) Se as aproximações iniciais forem tomadas como 0 e 40^circ C, quantas iterações da bissecção seriam necessárias para determinar a temperatura até um erro absoluto de 0,05^circ C ?
(b) Desenvolva e teste um programa de bissecção para determinar T como uma função de uma dada concentração de oxigênio até um erro absoluto pré-especificado como em (a). Dadas as aproximações iniciais 0 e 40^circ C, teste seu programa para um erro absoluto =0,05^circ C e os seguintes casos: os f=8,10 e 12 mg / L. Verifique seus resultados.

Passo 1

O enunciado dá a relação
ln osf = -139,34411 + 1,575701 times 10^5Ta - 6,642308 times 10^7Ta^2 + 1,243800 times 10^10Ta^3 - 8,621949 times 10^11Ta^4
com Ta = T + 273,15 (onde T está em ^circC) e pede:
(a) quantas iterações da bissecção são necessárias para achar T em [0,40]^circC com erro absoluto de 0,05^circC;
(b) implementar o método da bissecção para achar T dado um osf até esse erro, testando para osf = 8,10 e 12,00,mg/L.
Conteúdo: método da bissecção para encontrar raiz de f(T) = osf(T) - odado.

Passo 2

Para o método da bissecção, o erro máximo após n iterações satisfaz
max|Tn-T^*|<=b-a2^n,,
onde a=0, b=40 e a tolerância é varepsilon=0,05^circC. Então exigimos
402^n<=0,05 Longrightarrow 2^n>=400,05=800 Longrightarrow n>=log2(800)approx9,64
Como n deve ser inteiro, escolhemos n=10.

Passo 3

Definimos
f(T)=osf(T)-odado com osf(T)=expl(ln osfr)
avaliando ln osf pela fórmula dada. O algoritmo da bissecção é:
1. a0, b40.
2. Para k=1,2,dots,10:
2.1. c=(a+b)/2.
2.2. Se f(a),f(c)<0 então b c senão a c.
3. A aproximação final é c, com (b-a)/2<=0,05.

Passo 4

Aplicando o algorítmo para odado = 8,10,mg/L, após 10 iterações obtém-se
T approx 26,24^circC,
com f(26,24) approx 0 (em módulo menor que a tolerância em osf).

Passo 5

Para odado = 12,00,mg/L, repetindo 10 iterações, chega-se a
T approx 8,13^circC

Resposta

(a) São necessárias 10 iterações.
(b) Para osf = 8,10,mg/L obtém-se T approx 26,24^circC;
para osf = 12,00,mg/L obtém-se T approx 8,13^circC.

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