5.17 O coeficiente de saturação do oxigênio dissolvido em água fresca pode ser calculado pela equação (APHA,1992)
onde
é a concentração de saturação do oxigênio dissolvido em água fresca a
e
é a temperatura absoluta (K). Lem-bre-se de que
, onde
é a temperatura
. De acordo com essa equação, a saturação diminui com o aumento da temperatura. Para águas naturais típicas em climas temperados, a equação pode ser usada para determinar a variação da concentração de oxigênio de
até
. Dado um valor da concentração de oxigênio, essa fórmula e o método da bissecção podem ser usados para determinar a temperatura em
.
(a) Se as aproximações iniciais forem tomadas como 0 e
, quantas iterações da bissecção seriam necessárias para determinar a temperatura até um erro absoluto de
?
(b) Desenvolva e teste um programa de bissecção para determinar
como uma função de uma dada concentração de oxigênio até um erro absoluto pré-especificado como em (a). Dadas as aproximações iniciais 0 e
, teste seu programa para um erro absoluto
e os seguintes casos:
. Verifique seus resultados.
(a) Se as aproximações iniciais forem tomadas como 0 e
(b) Desenvolva e teste um programa de bissecção para determinar
Passo 1
O enunciado dá a relação
com
(onde
está em
) e pede:
(a) quantas iterações da bissecção são necessárias para achar em
com erro absoluto de
;
(b) implementar o método da bissecção para achar dado um
até esse erro, testando para
e
,mg/L.
Conteúdo: método da bissecção para encontrar raiz de .
(a) quantas iterações da bissecção são necessárias para achar
(b) implementar o método da bissecção para achar
Conteúdo: método da bissecção para encontrar raiz de
Passo 2
Para o método da bissecção, o erro máximo após
iterações satisfaz
onde
,
e a tolerância é
. Então exigimos
Como
deve ser inteiro, escolhemos
.
Passo 3
Definimos
avaliando
pela fórmula dada. O algoritmo da bissecção é:
.
,
.
. Para
:
.
.
. Se
então
senão
.
. A aproximação final é
, com
.
Passo 4
Aplicando o algorítmo para
,mg/L, após
iterações obtém-se
com
(em módulo menor que a tolerância em
).
Passo 5
Para
,mg/L, repetindo
iterações, chega-se a
Resposta
(a) São necessárias
iterações.
(b) Para ,mg/L obtém-se
;
para ,mg/L obtém-se
.
(b) Para
para