5.3 Determine a raiz real de f(x)=-25+82 x-90 x^2+ 44 x^3-8 x^4+0,7 x^5 :
(a) Graficamente.
(b) Usando o método da bissecção para determinar a raiz até varepsilons=10 %. Use as aproximações iniciais xl=0,5 e xu=1,0.
(c) Faça os mesmos cálculos que em (b) mas use o método da falsa posição e varepsilons=0,2 %.

Passo 1

O enunciado pede a raiz real da função
f(x) = -25 + 82,x - 90,x^2 + 44,x^3 - 8,x^4 + 0,7,x^5
em três partes:
(a) estimar graficamente,
(b) aplicar o método da bissecção até varepsilons=10% com xl=0,5 e xu=1,0,
(c) aplicar o método da falsa posição até varepsilons=0,2% com os mesmos limites.
Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir que há mudança de sinal em [0,5,1,0], o critério de erro relativo
varepsilona = |xnova - xantigaxnova|times 100%
e as fórmulas padrão de bissecção e falsa posição.

Passo 2

(a) Para estimar graficamente, avalio f em alguns pontos:
f(0,5)approx -1,48, f(0,6)approx 0,32,
logo a raiz está em [0,5,0,6]. Refinando:
f(0,58)approx 0,0095, f(0,57)approx -0,155
dá-se f(0,57)<0 e f(0,58)>0, logo a raiz é aproximadamente
xapprox 0,58

Passo 3

(b) Método da bissecção com varepsilons=10%.
Iterações:
1. xl=0,5, xu=1,0 Rightarrow xr1=(0,5+1,0)/2=0,75, f(0,75)approx2,07>0. Novo intervalo [0,5,0,75].
2. xr2=(0,5+0,75)/2=0,625, f(0,625)approx0,68>0. Novo intervalo [0,5,0,625].
varepsilona2=l|(0,625-0,75)/0,625r|times100%approx20%>10%.
3. xr3=(0,5+0,625)/2=0,5625, f(0,5625)approx-0,28<0. Novo intervalo [0,5625,0,625].
varepsilona3=l|(0,5625-0,625)/0,5625r|times100%approx11,11%>10%.
4. xr4=(0,5625+0,625)/2=0,59375, f(0,59375)approx0,23>0. Novo intervalo [0,5625,0,59375].
varepsilona4=l|(0,59375-0,5625)/0,59375r|times100%approx5,26%<10%.
Como varepsilona4<10%, paro em xr4=0,59375.

Passo 4

(c) Método da falsa posição com varepsilons=0,2%.
Iterações:
1. xl=0,5, flapprox-1,478; xu=1,0, fu=3,7.
xr1 = xu - fuxl-xufl-fu =1,0 - 3,70,5-1,0-1,478-3,7approx0,64277,
f(0,64277)approx0,947>0, novo intervalo [0,5,0,64277].
2.
xr2 = 0,64277 - 0,9470,5-0,64277-1,478-0,947approx0,58699,
f(0,58699)approx0,083>0, intervalo [0,5,0,58699].
varepsilona2approx9,50%>0,2%.
3.
xr3 = 0,58699 - 0,08260,5-0,58699-1,478-0,0826approx0,58238,
f(0,58238)approx0,00814>0, intervalo [0,5,0,58238].
varepsilona3approx0,79%>0,2%.
4.
xr4 = 0,58238 - 0,008140,5-0,58238-1,478-0,00814approx0,58193,
f(0,58193)approx0,0088>0.
varepsilona4approx0,08%<0,2%, critério satisfeito.

Resposta

(a) xapprox0,58.
(b) Pelo método da bissecção, xapprox0,59375.
(c) Pelo método da falsa posição, xapprox0,58193.

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