5.3 Determine a raiz real de :
(a) Graficamente.
(b) Usando o método da bissecção para determinar a raiz até . Use as aproximações iniciais e .
(c) Faça os mesmos cálculos que em (b) mas use o método da falsa posição e .
Passo 1
O enunciado pede a raiz real da função
em três partes:
(a) estimar graficamente,
(b) aplicar o método da bissecção até com e ,
(c) aplicar o método da falsa posição até com os mesmos limites.
Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir que há mudança de sinal em , o critério de erro relativo
e as fórmulas padrão de bissecção e falsa posição.
Passo 2
(a) Para estimar graficamente, avalio f em alguns pontos:
f(0,5)approx -1,48, f(0,6)approx 0,32,
logo a raiz está em [0,5,0,6]. Refinando:
f(0,58)approx 0,0095, f(0,57)approx -0,155
dá-se f(0,57)<0 e f(0,58)>0, logo a raiz é aproximadamente
xapprox 0,58
Passo 3
(b) Método da bissecção com varepsilons=10%.
Iterações:
1. xl=0,5, xu=1,0 Rightarrow xr1=(0,5+1,0)/2=0,75, f(0,75)approx2,07>0. Novo intervalo [0,5,0,75]. 2. xr2=(0,5+0,75)/2=0,625, f(0,625)approx0,68>0. Novo intervalo [0,5,0,625]. varepsilona2=l|(0,625-0,75)/0,625r|times100%approx20%>10%. 3. xr3=(0,5+0,625)/2=0,5625, f(0,5625)approx-0,28<0. Novo intervalo [0,5625,0,625]. varepsilona3=l|(0,5625-0,625)/0,5625r|times100%approx11,11%>10%. 4. xr4=(0,5625+0,625)/2=0,59375, f(0,59375)approx0,23>0. Novo intervalo [0,5625,0,59375]. varepsilona4=l|(0,59375-0,5625)/0,59375r|times100%approx5,26%<10%.
Como varepsilona4<10%, paro em xr4=0,59375.
Passo 4
(c) Método da falsa posição com varepsilons=0,2%.
Iterações: