5.7 Determine a raiz real de :
(a) Analiticamente.
(b) Graficamente.
(c) Usando três iterações do método da falsa posição e aproximações iniciais 1 e 3. Calcule o erro aproximado e o erro verdadeiro depois de cada iteração. Há algum problema com o resultado?
Passo 1
O enunciado pede a raiz real da função
usando três abordagens:
– (a) solução analítica, que envolve resolver ;
– (b) solução gráfica, que envolve ver onde o gráfico corta o eixo ;
– (c) método da falsa posição com três iterações, partindo de e , calculando a cada passo
além dos erros aproximado
e verdadeiro
varepsilont=|xi-x^*x^*|times100%
onde x^* é a raiz exata.
Passo 2
Para encontrar a raiz analiticamente basta impor
f(x)=0Longrightarrow 0,8-0,3x=0
0,3x=0,8
x=0,80,3=83approx2,6667
Passo 3
Graficamente, o numerador 0,8-0,3x é uma reta que zera em x=8/3. Como o denominador x só muda o sinal de f em x=0 (que não é raiz porque geraria divisão por zero), o corte com o eixo x ocorre exatamente em x=8/3. Observando também que
f(1)=0,51=0,5>0 e f(3)=0,8-0,93=-0,0333<0,
fica claro que há mudança de sinal entre 1 e 3, e o gráfico cruza o eixo em xapprox2,6667.
Passo 4
Aplicando o método da falsa posição com a0=1, b0=3:
f(1)=0,5, f(3)=-0,0333
A fórmula da falsa posição dá
x1=1cdot(-0,0333)-3cdot0,5-0,0333-0,5=2,875
Como f(x1)=(0,8-0,3cdot2,875)/2,875approx-0,02174, o sinal é negativo, logo o novo intervalo é
O problema observado é que em todas as iterações o ponto ai nunca mudou de 1, pois f(ai) permaneceu positivo enquanto f(xi) ficou negativo. Isso faz o método da falsa posição “prender” um dos extremos, levando a convergência muito lenta (stagnation).
Resposta
(a) ;x=83approx2,6667
(b) Pelo gráfico de f(x) verifica-se corte com o eixo x em xapprox2,6667.
(c) Após três iterações obteve-se
x1=2,875,;x2=2,7977,;x3=2,7473,
com erros verdadeiros aproximados 7,81%, 4,91%, 3,02% e erros aproximados (a partir da segunda) 2,76%, 1,84%.
O problema é que o método da falsa posição mantém sempre ai=1, resultando em convergência muito lenta.
Cálculo Numérico - Steven C. Chapra, Raymond P. Canale - Métodos Numéricos para Engenharia - 5ª Edição - Capítulo 5.Problemas - Ex. 5.7