5.7 Determine a raiz real de f(x)=(0,8-0,3 x) / x :
(a) Analiticamente.
(b) Graficamente.
(c) Usando três iterações do método da falsa posição e aproximações iniciais 1 e 3. Calcule o erro aproximado varepsilona e o erro verdadeiro varepsilont depois de cada iteração. Há algum problema com o resultado?

Passo 1

O enunciado pede a raiz real da função
f(x)=0,8-0,3xx
usando três abordagens:
– (a) solução analítica, que envolve resolver f(x)=0;
– (b) solução gráfica, que envolve ver onde o gráfico corta o eixo x;
– (c) método da falsa posição com três iterações, partindo de a0=1 e b0=3, calculando a cada passo
xi=ai-1,f(bi-1)-bi-1,f(ai-1)f(bi-1)-f(ai-1),
além dos erros aproximado
varepsilona=|xi-xi-1xi|times100%
e verdadeiro
varepsilont=|xi-x^*x^*|times100%
onde x^* é a raiz exata.

Passo 2

Para encontrar a raiz analiticamente basta impor
f(x)=0Longrightarrow 0,8-0,3x=0
0,3x=0,8
x=0,80,3=83approx2,6667

Passo 3

Graficamente, o numerador 0,8-0,3x é uma reta que zera em x=8/3. Como o denominador x só muda o sinal de f em x=0 (que não é raiz porque geraria divisão por zero), o corte com o eixo x ocorre exatamente em x=8/3. Observando também que
f(1)=0,51=0,5>0 e f(3)=0,8-0,93=-0,0333<0,
fica claro que há mudança de sinal entre 1 e 3, e o gráfico cruza o eixo em xapprox2,6667.

Passo 4

Aplicando o método da falsa posição com a0=1, b0=3:
f(1)=0,5, f(3)=-0,0333
A fórmula da falsa posição dá
x1=1cdot(-0,0333)-3cdot0,5-0,0333-0,5=2,875
Como f(x1)=(0,8-0,3cdot2,875)/2,875approx-0,02174, o sinal é negativo, logo o novo intervalo é
[a1,b1]=[1,;2,875]

Passo 5

Segunda iteração com a1=1, b1=2,875:
f(a1)=0,5, f(b1)approx-0,02174,
x2=1cdot(-0,02174)-2,875cdot0,5-0,02174-0,5approx2,7977,
f(x2)approx0,8-0,3cdot2,79772,7977approx-0,01406,
novo intervalo [1,,2,7977].
Erro aproximado
varepsilona^(2)=|2,7977-2,8752,7977|times100%approx2,76%,
erro verdadeiro ( x^*=8/3)
varepsilont^(2)=|2,7977-2,66672,6667|times100%approx4,91%

Passo 6

Terceira iteração com a2=1, b2=2,7977:
f(a2)=0,5, f(b2)approx-0,01406,
x3=1cdot(-0,01406)-2,7977cdot0,5-0,01406-0,5approx2,7473,
f(x3)approx0,8-0,3cdot2,74732,7473approx-0,00881,
intervalo [1,,2,7473].
Erro aproximado
varepsilona^(3)=|2,7473-2,79772,7473|times100%approx1,84%,
erro verdadeiro
varepsilont^(3)=|2,7473-2,66672,6667|times100%approx3,02%

Passo 7

O problema observado é que em todas as iterações o ponto ai nunca mudou de 1, pois f(ai) permaneceu positivo enquanto f(xi) ficou negativo. Isso faz o método da falsa posição “prender” um dos extremos, levando a convergência muito lenta (stagnation).

Resposta

(a) ;x=83approx2,6667
(b) Pelo gráfico de f(x) verifica-se corte com o eixo x em xapprox2,6667.
(c) Após três iterações obteve-se
x1=2,875,;x2=2,7977,;x3=2,7473,
com erros verdadeiros aproximados 7,81%, 4,91%, 3,02% e erros aproximados (a partir da segunda) 2,76%, 1,84%.
O problema é que o método da falsa posição mantém sempre ai=1, resultando em convergência muito lenta.

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