Conclua sobre a convergência ou divergência da sequência a^n nos seguintes casos:
a<-1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência a^n no caso em que a<-1. O conteúdo aqui é sequência geométrica e precisamos usar a condição sobre o módulo de a para decidir convergência ou divergência.

Passo 2

Para a sequência geométrica a^n vale:
  • Se |a|<1, então limntoinftya^n=0 (converge).
  • Se |a|=1, então 1^n permanece constante em 1, e (-1)^n oscila entre 1 e -1 (não tem limite).
  • Se |a|>1, então limntoinfty|a^n|=+infty (os termos crescem sem limite em módulo).

Passo 3

No caso a<-1 temos |a|>1 e a<0. Logo:
  • O módulo |a^n| = |a|^n cresce para +infty quando ntoinfty.
  • Além disso, como a é negativo, a^n alterna de sinal a cada incremento de n.

Resposta

A sequência a^n diverge, pois seus termos crescem em módulo sem limite e ainda oscilam de sinal.

Exercícios de Livros Relacionados