Nos problemas 27 a 38, diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou nāo-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(38\left{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n-1)}{n!}\right})
(38\left{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n-1)}{n!}\right})
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para classificá-la em termos de monotonicidade, de limitação superior/inferior e de convergência. Vamos usar o teste da razão entre termos consecutivos e, para o limite, uma aproximação assintótica de coeficientes binomiais.
Passo 2
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
Passo 3
Note que
Logo
e a sequência é estritamente crescente.
Passo 4
Para ver o comportamento de
quando
, escrevemos
Usando
, obtemos
Isso mostra que não existe limite finito, que não há limite superior, e que existe limite inferior
.
Passo 5
Concluímos que a sequência
é
– estritamente crescente;
– limitada inferiormente (por ), mas não limitada superiormente;
– divergente, pois .
– estritamente crescente;
– limitada inferiormente (por
– divergente, pois
Resposta
Monotonicidade: estritamente crescente.
Limitada inferiormente? Sim, por .
Limitada superiormente? Não.
Convergente? Não; diverge para .
Limitada inferiormente? Sim, por
Limitada superiormente? Não.
Convergente? Não; diverge para