Nos problemas 27 a 38, diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou nāo-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(38\left{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n-1)}{n!}\right})

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = 1cdot3cdot5cdots(2n-1)n!
e pede para classificá-la em termos de monotonicidade, de limitação superior/inferior e de convergência. Vamos usar o teste da razão entre termos consecutivos e, para o limite, uma aproximação assintótica de coeficientes binomiais.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 1cdot3cdots(2n-1),(2n+1)/(n+1)!1cdot3cdots(2n-1)/n! = 2n+1n+1

Passo 3

Note que
2n+1n+1 = 2 - 1,n+1, > 1 para todo n>=1
Logo an+1>an e a sequência é estritamente crescente.

Passo 4

Para ver o comportamento de an quando ntoinfty, escrevemos
an = 1cdot3cdots(2n-1)n! = (2n)!2^n,n!,n! = binom2nn2^n
Usando binom2nnsim 4^nraizpi n, obtemos
ansim 4^nraizpi n;12^n = 2^nraizpi n ;longrightarrow;+infty
Isso mostra que não existe limite finito, que não há limite superior, e que existe limite inferior a1=1.

Passo 5

Concluímos que a sequência an é
– estritamente crescente;
– limitada inferiormente (por 1), mas não limitada superiormente;
– divergente, pois anto+infty.

Resposta

Monotonicidade: estritamente crescente.
Limitada inferiormente? Sim, por 1.
Limitada superiormente? Não.
Convergente? Não; diverge para +infty.

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