56 Em que condições |barA+barB|=|A|+|B| é verdadeiro?

Passo 1

O enunciado pergunta em que situação vale
|vec A + vec B| = |vec A| + |vec B|
O conteúdo envolvido é a relação entre soma de vetores e produto escalar, pois sabemos que
|vec A + vec B|^2 = |vec A|^2 + |vec B|^2 + 2,vec Acdot vec B

Passo 2

Elevando ambos os lados da igualdade desejada ao quadrado, obtemos
|vec A + vec B|^2 =l(|vec A|+|vec B|r)^2
ou seja
|vec A|^2 + |vec B|^2 + 2,vec Acdot vec B = |vec A|^2 + |vec B|^2 + 2,|vec A|,|vec B|

Passo 3

Cancelando |vec A|^2 + |vec B|^2 dos dois lados fica
vec Acdot vec B = |vec A|,|vec B|
Mas o produto escalar também satisfaz
vec Acdot vec B = |vec A|,|vec B|costheta,
logo é preciso que costheta=1.

Passo 4

costheta=1 só ocorre quando o ângulo theta entre vec A e vec B é zero, isto é, eles são colineares e apontam para o mesmo sentido.

Resposta

A igualdade ,|vec A+vec B| = |vec A| + |vec B|, ocorre se, e somente se, vec A e vec B forem paralelos e codirecionais (ângulo entre eles igual a zero).

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