7.19 Considere o seguinte sistema com três incógnitas a, u, e v :
u^2-2 v^2=a^2
u+v=2
a^2-2 a-u=0
Determine os valores reais das incógnitas usando: (a) o Solver do Excel e (b) um pacote de software de manipulação simbólica.

Passo 1

O enunciado dá um sistema não-linear de três equações em
O conteúdo que vamos usar é: resolver a terceira equação para , substituir na primeira para obter uma equação univariante em (um polinômio de quarto grau) e encontrar suas raízes reais. Em seguida voltamos em cada valor de para achar e .

Passo 2

Isolamos u na equação
a^2-2a-u=0
logo
u = a^2-2a

Passo 3

Da equação
u+v=2
substituindo u acima, vem
v = 2 - u = 2 - (a^2-2a) = 2 + 2a - a^2

Passo 4

Substituímos u e v na equação
u^2 - 2v^2 = a^2
Calcula-se
u^2 = (a^2-2a)^2 = a^4 - 4a^3 +4a^2, v^2 = (2+2a - a^2)^2 = a^4-4a^3+8a+4
Logo a condição vira
a^4-4a^3+4a^2 ;-;2l(a^4-4a^3+8a+4r) ;=;a^2,
que simplifica para o polinômio
a^4 -4a^3 -3a^2 +16a +8 = 0

Passo 5

Resolvendo numericamente
a^4 -4a^3 -3a^2 +16a +8 = 0
encontram-se duas raízes reais aproximadas:
a1approx -1,6923, a2approx -0,4878

Passo 6

Para cada a calculamos
u = a^2-2a, v = 2 - u
Isto dá os dois tripletos reais:
para a1:
u1 = (-1,6923)^2 -2(-1,6923)approx 6,2470, v1 = 2 - 6,2470approx -4,2470;
para a2:
u2 = (-0,4878)^2 -2(-0,4878)approx 1,2135, v2 = 2 - 1,2135approx 0,7865

Resposta

As soluções reais são
(a,u,v)approx(-1,6923,;6,2470,;-4,2470) e (a,u,v)approx(-0,4878,;1,2135,;0,7865)

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