7.10 Determine as raízes reais de x^3,5=80 com o recurso Goal Seek do Excel ou uma biblioteca ou um pacote de sua escolha.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^3,5 = 80
isto é, encontrar os valores de x em R tais que
f(x) = x^3,5 - 80 = 0
O conteúdo da matéria envolvido é método numérico de busca de raízes (por exemplo, Goal Seek no Excel ou funções de root-finding em bibliotecas como Python/NumPy, SciPy, etc.).

Passo 2

Antes de aplicar qualquer método, observamos o domínio da função f(x). Como 3,5 = tfrac72, temos
x^3,5 = (x^7)^1/2 = raizx^7
Para que raizx^7 seja real, precisamos de x^7 >= 0, ou seja, x >= 0. Logo só existe pelo menos uma raiz real não negativa.

Passo 3

Escolhemos um bracket (intervalo) onde f(x) muda de sinal. Por tentativa rápida:
f(3) = 3^3,5 - 80 = 27raiz3 - 80 approx 46,8 - 80 < 0,
f(4) = 4^3,5 - 80 = 64cdot2 - 80 = 128 - 80 > 0
Então há pelo menos uma raiz em [3,4].

Passo 4

Podemos usar, por exemplo, Python/SciPy para achar a raiz:
import scipy.optimize as opt

def f(x):
    return x**\(3.5\) - \(80\)

raiz \(=\) opt.brentq(f, \(3\), \(4\))
print(raiz)
Ou no Excel usar Goal Seek definindo célula com \(= x^3\).\(5\)-\(80\) e “Set Cell” a zero variando . Ambos retornam o mesmo valor.

Passo 5

Ao rodar o método (Brent, Newton, bisseção ou Goal Seek), obtemos
x approx 3,497

Resposta

A única raiz real da equação x^3,5=80 é
x approx 3,497

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