7.11 A velocidade de um pára-quedista em queda livre é dada por v=g mc(1-e^-(c / m) t)
onde g=9,8 m / s^2. Para um pára-quedista com coeficiente de arrasto c=14 kg / s, calcule a massa m para que a velocidade seja v=35 m / s em t=8 s. Use o recurso Goal Seek do Excel ou uma biblioteca ou um pacote de sua escolha.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de um pára-quedista em queda livre
v = g,mcl(1 - e^-(c/m),tr)
com g = 9,8,m/ s^2 e c = 14,kg/s. Queremos achar a massa m tal que v = 35,m/s em t = 8,s. Como m aparece dentro e fora do expoente, trata-se de uma equação transcendental; vamos usar um método numérico (bissecção) para resolver.

Passo 2

Montamos a equação para m. Substituindo v=35, c=14, g=9,8 e t=8:
35 = 9,8,m14l(1 - e^-tfrac14mcdot 8r)
Como tfrac9,814=0,7, isso vira
35 = 0,7,m,(1 - e^-112/m)
e dividindo por 0,7:
50 = m,(1 - e^-112/m)
Definimos
f(m) = m,(1 - e^-112/m) - 50
e buscamos a raiz f(m)=0.

Passo 3

Escolhemos o método da bissecção. Primeiro encontramos um intervalo [ma,mb] em que f(ma) e f(mb) tenham sinais opostos:
f(50) = 50l(1 - e^-112/50r) - 50 approx -5,3, f(60) = 60l(1 - e^-112/60r) - 50 approx +0,8
Portanto há raiz em [50,60].

Passo 4

Aplicamos bissecção até precisão de 0,1,kg:
m=55: f(55)approx -2,2 to raiz em [55,60]
m=57,5: f(57,5)approx -0,7 to raiz em [57,5,60]
m=58,75: f(58,75)approx +0,02 to raiz em [57,5,58,75]
m=58,125: f(58,125)approx -0,29 to raiz em [58,125,58,75]
m=58,4375: f(58,4375)approx -0,14 to raiz em [58,4375,58,75]
m=58,59375: f(58,59375)approx -0,06 to raiz em [58,59375,58,75]
Ao refinar chegamos a
m approx 58,6 kg

Resposta

A massa necessária é aproximadamente 58,6 kg.

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