5.4 (a) Determine as raízes de graficamente. Além disso, determine a primeira raiz da função pela (b) bissecção e (c) falsa posição. Para (b) e (c), use as aproximações iniciais e e um critério de parada de .
Passo 1
O enunciado dá a função cúbica
e pede: (a) localizar graficamente suas raízes; (b) refinar a primeira raiz (a menor) pelo método da bissecção em até erro relativo de ; (c) idem pelo método da falsa posição, mesmos limites e critério.
Para isso vamos primeiro identificar os subintervalos onde ocorrem as três raízes da cúbica e estimar seus valores. Depois aplicamos passo a passo bissecção e falsa posição ao intervalo que contém a primeira raiz.
Passo 2
Identificamos sinais de em pontos estratégicos para achar as três raízes: , raiz em . , raiz em . , raiz em .
Fazendo aproximações sucessivas (por inspeção) a três dígitos:
primeira raiz , segunda , terceira .
Passo 3
Método da bissecção em com .
Iteramos:
e escolhemos o subintervalo onde há troca de sinal.
Aplicando até
obtivemos após 7 iterações
xmapprox -0,41797,
com erro relativo interno approx0,93%<1%.
Passo 4
Método da falsa posição no mesmo intervalo e critério:
xr = xu - f(xu),xl-xuf(xl)-f(xu)
Mantendo xl=-1, xu passa a ser o último xr que tenha sinal oposto ao de f(xl).
Repetimos até
|xr^(k) - xr^(k-1)xr^(k)| < 0,01
Após 5 iterações chegamos em
xrapprox -0,4141,
com erro relativo approx0,45%<1%.
Resposta
(a) As três raízes são aproximadamente
x1approx -0,415, x2approx 2,226, x3approx 4,726
(b) Pela bissecção, a primeira raiz em [-1,0] é
xapprox -0,41797
(c) Pela falsa posição, a primeira raiz em [-1,0] é
xapprox -0,4141
Cálculo Numérico - Steven C. Chapra, Raymond P. Canale - Métodos Numéricos para Engenharia - 5ª Edição - Capítulo 5.Problemas - Ex. 5.4