5.4 (a) Determine as raízes de f(x)=-12-21 x+18 x^2- 2,75 x^3 graficamente. Além disso, determine a primeira raiz da função pela (b) bissecção e (c) falsa posição. Para (b) e (c), use as aproximações iniciais xl=-1 e xu=0 e um critério de parada de 1 %.

Passo 1

O enunciado dá a função cúbica
f(x) = -12 - 21,x + 18,x^2 - 2,75,x^3
e pede:
bul<=t (a) localizar graficamente suas raízes;
bul<=t (b) refinar a primeira raiz (a menor) pelo método da bissecção em [-1,0] até erro relativo de 1%;
bul<=t (c) idem pelo método da falsa posição, mesmos limites e critério.
Para isso vamos primeiro identificar os subintervalos onde ocorrem as três raízes da cúbica e estimar seus valores. Depois aplicamos passo a passo bissecção e falsa posição ao intervalo que contém a primeira raiz.

Passo 2

Identificamos sinais de f em pontos estratégicos para achar as três raízes:
f(-1)=29,75>0, f(0)=-12<0 Rightarrow raiz em (-1,0).
f(2)=-4<0, f(3)=12,75>0 Rightarrow raiz em (2,3).
f(4)=16>0, f(5)=-10,75<0 Rightarrow raiz em (4,5).
Fazendo aproximações sucessivas (por inspeção) a três dígitos:
primeira raiz approx -0,415, segunda approx 2,226, terceira approx 4,726.

Passo 3

Método da bissecção em [xl,xu]=[-1,0] com varepsilonrel=1%.
Iteramos:
xm = xl+xu2,avaliamos f(xm),
e escolhemos o subintervalo onde há troca de sinal.
Aplicando até
|xm^(k) - xm^(k-1)xm^(k)| < 0,01,
obtivemos após 7 iterações
xmapprox -0,41797,
com erro relativo interno approx0,93%<1%.

Passo 4

Método da falsa posição no mesmo intervalo e critério:
xr = xu - f(xu),xl-xuf(xl)-f(xu)
Mantendo xl=-1, xu passa a ser o último xr que tenha sinal oposto ao de f(xl).
Repetimos até
|xr^(k) - xr^(k-1)xr^(k)| < 0,01
Após 5 iterações chegamos em
xrapprox -0,4141,
com erro relativo approx0,45%<1%.

Resposta

(a) As três raízes são aproximadamente
x1approx -0,415, x2approx 2,226, x3approx 4,726
(b) Pela bissecção, a primeira raiz em [-1,0] é
xapprox -0,41797
(c) Pela falsa posição, a primeira raiz em [-1,0] é
xapprox -0,4141

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