24.55 Dados de velocidade do ar foram coletados em diferentes raios do eixo central de um tubo circular de 16 cm de diâmetro, como tabulado a seguir:
0 1,60 3,20 4,80 6,40 7,47 7,87 7,95 8
10 9,69 9,30 8,77 7,95 6,79 5,57 4,89 0
Use integração numérica para determinar a vazão em massa, que pode ser calculada por
em que é a densidade . Expresse seu resultado .

Passo 1

O enunciado pede a vazão mássica
dotm = integral0^R rho cdot v(r) cdot 2pi r , dr,
com R=8,cm e rho=1,2,kg/ m^3. Vamos tratar o perfil de velocidade tabulado em r e usar integração numérica (regra do trapézio) em r.

Passo 2

Convertemos os raios para metros e montamos a tabela de
f(r) = rho cdot v(r) cdot 2pi r
r(cm) \quad r(m) \quad v(m/s) \quad f(r) (kg/( m cdot s))
00,00010,0000,0001,6000,1691,1693,2000,3292,2444,8000,4883,1736,4000,6473,8387,4700,7476,7938,2470,7875,5733,0677,9500,7954,8929,3180,8000,0000,000

Passo 3

Aplicamos a regra composta do trapézio
integral0^R f(r),dr approx sumi=1^n-1 fi + fi+12,De<a ri,
com De<a ri = ri+1-ri.

Passo 4

Calculando cada contribuição tfracfi+fi+12,De<a ri e somando, obtemos
dot m =integral0^0,08 f(r),dr approx 0,1956;kg/s

Resposta

dot m approx 0,196;kg/s.

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