5.13 A velocidade v do pára-quedista em queda livre é dada por
v=g mc(1-e^-(c / m) t)
onde g=9,8 m / s^2. Para um pára-quedista com um coeficiente de arrasto c=15 Kg / s calcule a massa m para que a velocidade seja v=35 m / s em t=9 s. Use o método da falsa posição para determinar m até o nível de varepsilons=0,1 %.

Passo 1

O enunciado pede a massa m de um paraquedista de modo que a velocidade
v = g,mcl(1 - e^-(c/m),tr)
seja 35,m/s em t=9,s, sabendo que g=9,8,m/s ^2 e c=15,kg/s.
O conteúdo é resolução de equação não-linear por posição falsa, com critério de parada varepsilons=0,1%.

Passo 2

Definimos a função
f(m) = 9,8,m15l(1 - e^-(15/m),9r) - 35
e queremos achar m>0 tal que f(m)=0.

Passo 3

Escolhemos um intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) tenham sinais opostos.
Cálculo aproximado do limite terminal sem exponencial: vinfty = tfrac9,8,m15.
Para ter vinfty>35 precisa m>15cdot35/9,8approx53,6. Assim tentamos a=55, b=80.
Calculamos
f(55)approx 9,8cdot5515l(1-e^-135/55r)-35approx -2,16,
f(80)approx 9,8cdot8015l(1-e^-135/80r)-35approx +7,55
Logo f(55)cdot f(80)<0 e [55,80] bracketeia a raiz.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da posição falsa:
mrm new = b - f(b),a-bf(a)-f(b)
1ª iteração:
a=55, b=80, f(a)=-2,158, f(b)=7,547
m1 = 80 - 7,54755-80-2,158-7,547approx60,561
Calculamos
f(60,561)approx+0,303
Como f(a)cdot f(m1)<0, atualizamos b>=ts m1.

Passo 5

2ª iteração:
a=55, b=60,561, f(a)=-2,158, f(b)=0,303
m2 = 60,561 - 0,30355-60,561-2,158-0,303approx59,876
Calculamos
f(59,876)approx+0,018
Como f(a)cdot f(m2)<0, mantemos a=55 e agora b>=ts m2.

Passo 6

3ª iteração:
a=55, b=59,876, f(a)=-2,158, f(b)=0,018
m3 = 59,876 - 0,01855-59,876-2,158-0,018approx59,836
Calculamos
f(59,836)approx -0,006
O erro relativo aproximado é
varepsilonrm a = l|m3-m2m3r|times100%approx0,07%,
que já é menor que 0,1%. Portanto paramos aqui.

Resposta

A massa requerida é aproximadamente
m approx 59,84 kg

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