5.11 Determine a raiz real de x^3,5=80 : (a) analiticamente e (b) pelo método da falsa posição até varepsilons=2,5 %. Use aproximações iniciais de 2,0 e 5,0.

Passo 1

O enunciado pede a raiz real da equação
x^3,5 = 80
ou seja, queremos resolver
f(x) = x^3,5 - 80 = 0
Na parte (a) faremos a solução analítica isolando x. Na parte (b) aplicaremos o método da falsa posição com chutes iniciais a=2,0 e b=5,0 até que o erro relativo aproximado varepsilons caia abaixo de 2,5%.

Passo 2

Analiticamente, isolamos x:
x^3,5 = 80 Longrightarrow x = 80^1/3,5 = 80^2/7
Para obter valor numérico, usamos logaritmo:
x = expl(tfrac27ln 80r)approx 3,497

Passo 3

No método da falsa posição definimos
f(x) = x^3,5 - 80
e a fórmula para o ponto de corte c é
c = b - f(b),a - bf(a) - f(b)
O erro relativo aproximado entre duas iterações sucessivas ck e ck-1 é
varepsilons = gl|ck-ck-1ckgr|times 100%

Passo 4

Iteração 1 com a1=2,0, b1=5,0:
f(a1) = 2^3,5-80 approx -68,686,
f(b1) = 5^3,5-80 approx 199,508.
Então
c1 = 5 - 199,508;2 - 5-68,686 - 199,508 approx 2,7680,
e
f(c1) approx 2,7680^3,5 - 80 approx -44,70
Como f(a1) e f(c1) têm mesmo sinal, substituímos a2=c1, b2=b1.

Passo 5

Iteração 2 com a2=2,7680, b2=5,0:
f(a2)approx -44,70, f(b2)approx 199,508.
c2 = 5 - 199,508;2,7680 - 5-44,70 - 199,508 approx 3,1755,
f(c2) approx 3,1755^3,5 - 80 approx -22,97
Ainda negativo, trocamos a3=c2, b3=b2.

Passo 6

Iteração 3 com a3=3,1755, b3=5,0:
f(a3)approx -22,97, f(b3)approx 199,508.
c3 = 5 - 199,508;3,1755 - 5-22,97 - 199,508 approx 3,3642,
f(c3) approx 3,3642^3,5 - 80 approx -9,93
Ainda negativo, definimos a4=c3, b4=b3.

Passo 7

Iteração 4 com a4=3,3642, b4=5,0:
f(a4)approx -9,93, f(b4)approx 199,508.
c4 = 5 - 199,508;3,3642 - 5-9,93 - 199,508 approx 3,4420,
f(c4) approx 3,4420^3,5 - 80 approx -4,42
O erro relativo aproximado é
varepsilons = gl|c4-c3c4gr|times100% approx 0,07783,4420times100%approx2,26%,
que é menor que o critério 2,5%. Portanto, paramos aqui.

Resposta

Analiticamente,
x = 80^2/7approx 3,497
Pela falsa posição (erro varepsilons<2,5%), após 4 iterações,
x approx 3,442

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