5.1 Determine as raízes reais de
:
(a) Graficamente.
(b) Usando a fórmula quadrática.
(c) Usando três iterações do método da bissecção para determinar a maior raiz. Use as aproximações iniciais
e
. Calcule o erro estimado
e o erro verdadeiro
depois de cada iteração.
(a) Graficamente.
(b) Usando a fórmula quadrática.
(c) Usando três iterações do método da bissecção para determinar a maior raiz. Use as aproximações iniciais
Passo 1
O enunciado pede as raízes reais da função quadrática
(a) graficamente, (b) pela fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) e (c) pela bissecção, encontrando a maior raiz em três iterações no intervalo inicial
,
, calculando em cada iteração o erro estimado
e o erro verdadeiro
. Para resolver precisamos saber:
- Como esboçar rapidamente a parábola (concavidade, vértice e interceptos).
- A fórmula das raízes de
, . - O método da bissecção, que em cada iteração toma
, decide o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, e usa como erro estimado. O erro verdadeiro é , com sendo a raiz exata.
Passo 2
(a) Graficamente, a concavidade de
é para baixo (
). O vértice fica em
com
. Ao esboçar a parábola notamos que ela cruza o eixo
em duas posições: uma à esquerda de zero (aprox.
) e outra à direita (aprox.
). Logo, pelas interseções visuais, as raízes são aproximadamente
Passo 3
(b) Pela fórmula quadrática para
,
,
:
Então
Passo 4
(c) Método da bissecção para a maior raiz no intervalo
. A raiz exata usamos
.
Avaliações iniciais:
Avaliações iniciais:
há mudança de sinal e, portanto, raiz em
.
Iteração 1:
sinal oposto a
, novo intervalo
.
,
.
Iteração 2:
sinal oposto a
, novo intervalo
.
,
.
Iteração 3:
sinal oposto a
, novo intervalo
.
,
.
Resposta
(a) Pelos eixos,
e
.
(b) , ou seja
,
.
(c) Maior raiz em três iterações por bissecção:
Iteração 1: ,
,
.
Iteração 2: ,
,
.
Iteração 3: ,
,
.
(b)
(c) Maior raiz em três iterações por bissecção:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3: