5.1 Determine as raízes reais de f(x)=-0,5 x^2+2,5 x+4,5 :
(a) Graficamente.
(b) Usando a fórmula quadrática.
(c) Usando três iterações do método da bissecção para determinar a maior raiz. Use as aproximações iniciais xl=5 e xu=10. Calcule o erro estimado varepsilona e o erro verdadeiro varepsilont depois de cada iteração.

Passo 1

O enunciado pede as raízes reais da função quadrática
f(x) = -0,5,x^2 + 2,5,x + 4,5
(a) graficamente, (b) pela fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) e (c) pela bissecção, encontrando a maior raiz em três iterações no intervalo inicial xl=5, xu=10, calculando em cada iteração o erro estimado varepsilona e o erro verdadeiro varepsilont. Para resolver precisamos saber:
  • Como esboçar rapidamente a parábola (concavidade, vértice e interceptos).
  • A fórmula das raízes de ax^2+bx+c=0, x=-bpmraizb^2-4ac2a.
  • O método da bissecção, que em cada iteração toma xm=(xl+xu)/2, decide o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, e usa varepsilona=(xu-xl)/2 como erro estimado. O erro verdadeiro é varepsilont=|xm - xverd|, com xverd sendo a raiz exata.

Passo 2

(a) Graficamente, a concavidade de f é para baixo ( a=-0,5<0). O vértice fica em
xv = -b2a = -2,52cdot(-0,5) = 2,5,
com f(2,5)=7,625. Ao esboçar a parábola notamos que ela cruza o eixo x em duas posições: uma à esquerda de zero (aprox. -1,4) e outra à direita (aprox. 6,4). Logo, pelas interseções visuais, as raízes são aproximadamente
x1approx -1,4, x2approx 6,4

Passo 3

(b) Pela fórmula quadrática para a=-0,5, b=2,5, c=4,5:
De<a = b^2 - 4ac = (2,5)^2 - 4cdot(-0,5)cdot4,5 = 6,25 + 9 = 15,25,
x = -b pm raizDe<a2a = -2,5 pm raiz15,252cdot(-0,5) = -2,5 pm 3,9051248-1
Então
x1 = -2,5 + 3,9051248-1 approx -1,4051248, x2 = -2,5 - 3,9051248-1 approx 6,4051248

Passo 4

(c) Método da bissecção para a maior raiz no intervalo [5,10]. A raiz exata usamos xverd=6,4051248.
Avaliações iniciais:
f(5)=4,5>0, f(10)=-20,5<0,
há mudança de sinal e, portanto, raiz em [5,10].
Iteração 1:
xm = 5 + 102 = 7,5, f(7,5)=-4,875<0,
sinal oposto a f(5), novo intervalo [5,7,5].
varepsilona = 10-52 = 2,5,
varepsilont = |7,5 - 6,4051248| approx 1,0948752.
Iteração 2:
xm = 5 + 7,52 = 6,25, f(6,25)=0,59375>0,
sinal oposto a f(7,5), novo intervalo [6,25,7,5].
varepsilona = 7,5-6,252 = 0,625,
varepsilont = |6,25 - 6,4051248| approx 0,1551248.
Iteração 3:
xm = 6,25 + 7,52 = 6,875, f(6,875)=-1,9453125<0,
sinal oposto a f(6,25), novo intervalo [6,25,6,875].
varepsilona = 6,875-6,252 = 0,3125,
varepsilont = |6,875 - 6,4051248| approx 0,4698752.

Resposta

(a) Pelos eixos, x1approx -1,4 e x2approx 6,4.
(b) x = -2,5pmraiz15,25-1, ou seja x1approx -1,4051248, x2approx 6,4051248.
(c) Maior raiz em três iterações por bissecção:
Iteração 1: xm=7,5, varepsilona=2,5, varepsilontapprox1,0949.
Iteração 2: xm=6,25, varepsilona=0,625, varepsilontapprox0,1551.
Iteração 3: xm=6,875, varepsilona=0,3125, varepsilontapprox0,4699.

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