5.6 Determine a raiz real positiva de ln (x^4)=0,7 (a) graficamente, (b) usando três iterações do método da bissecção, com aproximações iniciais xl=0,5 e xu=2, e (c) usando três iterações do método da falsa posição, com as mesmas aproximações iniciais que em (b).

Passo 1

O enunciado quer a raiz real positiva de
lnl(x^4r)=0,7
ou seja, a solução de
f(x)=lnl(x^4r)-0,7=0
usando três abordagens:
– (a) Graficamente, encontrando onde o gráfico de y=ln(x^4) cruza y=0,7.
– (b) Três iterações do método da bissecção com xl=0,5 e xu=2.
– (c) Três iterações do método da falsa posição com os mesmos xl e xu.

Passo 2

Para resolver graficamente, esboçamos y1=ln(x^4) e a reta y2=0,7. Como
ln(x^4)=4ln(x), o gráfico de y1 cresce lentamente e cruza y2 em torno de
4ln(x)=0,7Longrightarrow ln(x)=0,175Longrightarrow x=e^0,175approx1,19
Portanto, pela inspeção do gráfico, a raiz positiva fica aproximadamente em xapprox1,19.

Passo 3

Método da bissecção:
Definimos
f(x)=lnl(x^4r)-0,7
iteração 1:
xm1=0,5+22=1,25, f(0,5)approx-3,473, f(2)approx2,073, f(1,25)approx0,193>0
Como f(0,5)<0 e f(1,25)>0, o novo intervalo é [0,5,,1,25].
iteração 2:
xm2=0,5+1,252=0,875, f(0,875)approx-1,235<0
Agora f(0,875)<0 e f(1,25)>0, o intervalo vira [0,875,,1,25].
iteração 3:
xm3=0,875+1,252=1,0625, f(1,0625)approx-0,458<0
Fica então [1,0625,,1,25]. Após três iterações, a aproximação pela bissecção é
xapprox xm3=1,0625

Passo 4

Método da falsa posição:
A cada passo usamos
xr ;=; xu;-;f(xu),xl-xuf(xl)-f(xu)
iteração 1:
xr1 =2 - 2,073,0,5-2-3,473-2,073 approx1,4393, f(1,4393)approx0,759>0,
logo o novo intervalo é [0,5,,1,4393].
iteração 2:
xr2 =1,4393 - 0,759,0,5-1,4393-3,473-0,759 approx1,2708, f(1,2708)approx0,258>0,
o intervalo vira [0,5,,1,2708].
iteração 3:
xr3 =1,2708 - 0,258,0,5-1,2708-3,473-0,258 approx1,2175, f(1,2175)approx0,087>0
Ao final de três iterações, a raiz pela falsa posição é
xapprox xr3=1,2175

Resposta

(a) xapprox1,19 (gráfico)
(b) xapprox1,0625 (bissecção)
(c) xapprox1,2175 (falsa posição)

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