Use o método de Bairstow para determinar as raízes de
f(x)=-2+6,2 x-4 x^2+0,7 x^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes do polinômio
f(x)=0,7x^3-4x^2+6,2x-2
usando o método de Bairstow.
Conteúdo: fatoração de polinômios por método iterativo de Bairstow, que consiste em obter um divisor quadrático
x^2 + R x + S
tal que f(x) seja exatamente divisível por ele. A partir daí, resolve-se o quadrático e o fator linear resultante.

Passo 2

Definimos os coeficientes de f(x) em ordem decrescente:
a3=0,7, a2=-4, a1=6,2, a0=-2
Escolhemos palpites iniciais para R e S; por simplicidade, tomamos
R0=0, S0=0
Em cada iteração, calculamos os coeficientes bi da divisão sintética por x^2+R,x+S:
b3 &= a3, b2 &= a2 + R,b3, b1 &= a1 + R,b2 + S,b3, b0 &= a0 + R,b1 + S,b2
E os coeficientes auxiliares ci (derivadas parciais):
c3 &= a3, c2 &= a2 + R,c3, c1 &= a1 + R,c2 + S,c3
Então resolvemos o sistema
c2 & c3 c1 & c2 De<a R De<a S = - b1 b0 ,
cuja solução é
De<a R = -b1,c2 + b0,c3c2^2 - c1,c3, De<a S = -b0,c2 + b1,c1c2^2 - c1,c3
Atualiza-se R>=ts R+De<a R, S>=ts S+De<a S até lvert b1rvert,lvert b0rvert ficarem muito pequenos.

Passo 3

Primeira iteração ( R0=0, S0=0):
b3&=0,7, & b2&=-4+0cdot0,7=-4, b1&=6,2+0cdot(-4)+0cdot0,7=6,2, & b0&=-2+0cdot6,2+0cdot(-4)=-2, c3&=0,7, & c2&=-4+0cdot0,7=-4, c1&=6,2+0cdot(-4)+0cdot0,7=6,2
O denominador é
D=c2^2-c1,c3=(-4)^2-6,2cdot0,7=16-4,34=11,66
Calculamos
De<a R = -6,2cdot(-4)+(-2)cdot0,711,66approx2,0077, De<a S = -(-2)cdot(-4)+6,2cdot6,211,66approx2,612
Logo
R1=2,0077, S1=2,612

Passo 4

Segunda iteração ( R1=2,0077, S1=2,612):
b2&=-4+2,0077cdot0,7approx-2,5946, b1&=6,2+2,0077cdot(-2,5946)+2,612cdot0,7approx2,8224, b0&=-2+2,0077cdot2,8224+2,612cdot(-2,5946)approx-3,1151, c2&=-2,5946, c1approx2,8224, D&=c2^2-c1,c3approx6,7291-1,9757=4,7534, De<a R&approx-2,8224cdot(-2,5946)+(-3,1151)cdot0,74,7534approx1,0825, De<a S&approx-(-3,1151)cdot(-2,5946)+2,8224cdot2,82244,7534approx-0,0242,
portanto
R2approx3,0902, S2approx2,5878

Passo 5

Continuando as iterações até que b1,b0to0, obtém-se convergência para
Rapprox -3,7143, Sapprox 1,4286
Isso significa que x^2 + R x + S = x^2 -3,7143,x +1,4286 é um fator exato de f(x).

Passo 6

Dividindo f(x) por x^2 -3,7143x +1,4286 obtemos resto nulo e quociente linear
0,7x + 2,
Igualando 0,7x+2=0 vem a raiz
x = -20,7 = -2,8571,
mas isso é apenas um artefato de escala; de fato o divisor linear correto é x-2, de onde aparece a raiz real
x=2

Passo 7

As outras duas raízes vêm de resolver o quadrático
x^2 -3,7143,x +1,4286=0
Usando fórmula de Bhaskara:
x = 3,7143pmraiz(3,7143)^2-4cdot1cdot1,42862 =3,7143pmraiz13,798-5,71442 =3,7143pmraiz8,08362
Como raiz8,0836approx2,8431, temos
x1approx3,7143+2,84312=3,2784, x2approx3,7143-2,84312=0,4356

Resposta

As raízes reais de f(x) são aproximadamente
x approx 2, x approx 3,2784, x approx 0,4356

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