Use o método de Müller para determinar a raiz positiva de
f(x)=x^3-0,5 x^2+4 x-3

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de M"uller para determinar a raiz positiva da função
f(x)=x^3-0,5,x^2+4,x-3.
O método de M"uller aproxima a raiz por meio de um polinômio quadrático interpolador em três pontos consecutivos. A cada iteração, dados três pontos x0,x1,x2 e seus valores f(x0),f(x1),f(x2), definimos
h0=x1-x0, h1=x2-x1,
de<a0=f(x1)-f(x0)h0, de<a1=f(x2)-f(x1)h1,
a=de<a1-de<a0h1+h0, b=a,h1+de<a1, c=f(x2),
e obtemos a nova aproximação
x3=x2+-2,c,bpmraizb^2-4,a,c,,
escolhendo o sinal que maximize lvert bpmraizb^2-4acrvert.
Vamos cercar a raiz positiva usando os pontos iniciais
x0=0,;x1=0,5,;x2=1.

Passo 2

Primeira iteração com x0=0, x1=0,5, x2=1.
Calcular
;f(x0)=f(0)=-3,;f(x1)=f(0,5)=-1,;f(x2)=f(1)=1,5
Logo,
h0=0,5-0=0,5, h1=1-0,5=0,5,
de<a0=-1-(-3)0,5=4, de<a1=1,5-(-1)0,5=5,
a=5-40,5+0,5=1, b=1cdot0,5+5=5,5, c=1,5
O discriminante é
raiz5,5^2-4cdot1cdot1,5=raiz30,25-6=raiz24,25approx4,924
Escolhendo o sinal “ +” para maximizar o denominador,
x3=1+-2cdot1,55,5+4,924approx1-310,424approx0,712

Passo 3

Segunda iteração com x0=0,5, x1=1, x2=0,712.
Calcular
;f(0,5)=-1,;f(1)=1,5,;f(0,712)approx-0,043
Então,
h0=1-0,5=0,5, h1=0,712-1=-0,288,
de<a0=1,5-(-1)0,5=5, de<a1=-0,043-1,5-0,288approx5,36,
a=5,36-5-0,288+0,5approx1,698, b=1,698cdot(-0,288)+5,36approx4,871, c=-0,043
O discriminante é
raiz4,871^2-4cdot1,698cdot(-0,043)approxraiz24,03approx4,902
Com o sinal “ +”,
x3=0,712+-2cdot(-0,043)4,871+4,902approx0,712+0,0869,773approx0,7208

Passo 4

Terceira iteração com x0=1, x1=0,712, x2=0,7208.
Calcular
;f(1)=1,5,;f(0,712)approx-0,043,;f(0,7208)approx-0,003
Então,
h0=0,712-1=-0,288, h1=0,7208-0,712=0,0088,
de<a0=-0,043-1,5-0,288approx5,36, de<a1=-0,003-(-0,043)0,0088approx4,533,
aapprox4,533-5,360,0088-0,288approx2,995, bapprox4,752, c=-0,003
O discriminante
raiz4,752^2-4cdot2,995cdot(-0,003)approx4,771,
x3=0,7208+-2cdot(-0,003)4,752+4,771approx0,7216
A diferença lvert x3-x2rvertapprox8times10^-4 já atende um critério de erro 10^-3.

Resposta

A raiz positiva aproximada é xapprox0,7216.

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