7.1 Divida o polinômio f(x)=x^4-7,5 x^3+14,5 x^2+3 x-20 pelo monômio x-2. É verdade que x=2 é uma raiz?

Passo 1

O enunciado pede para dividir
f(x)=x^4 - 7,5x^3 + 14,5x^2 + 3x - 20
pelo polinômio (x-2) e verificar se x=2 é raiz de f.
Conteúdo necessário: Teorema do Resto e divisão sintética.

Passo 2

Fazemos a divisão sintética de f(x) por (x-2). Listamos os coeficientes de f:
1,;-7,5,;14,5,;3,;-20
Usando a=2:
Trazer 1 to multiplicar por 2 to somar com -7,5 -5,5 to multiplicar por 2 to somar com 14,5 3,5 to multiplicar por 2 to somar com 3 10 to multiplicar por 2 to somar com -20 0.
Logo o quociente tem coeficientes
1,;-5,5,;3,5,;10
e o resto é 0.

Passo 3

Como o resto é zero, pelo Teorema do Resto temos f(2)=0, ou seja, x=2 é raiz de f(x).
O quociente obtido é
x^3 - 5,5x^2 + 3,5x + 10

Resposta

A divisão de f(x) por (x-2) resulta no quociente
x^3 - 5,5x^2 + 3,5x + 10
e resto 0. Portanto, sim, x=2 é raiz de f(x).

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