Use algum método apropriado para saber se cada série converge ou diverge. Se convergir, determine se a convergência é absoluta ou condicional.
(50 \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots(2 k)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 k-1)}\right]^{2})
(50 \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots(2 k)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 k-1)}\right]^{2})
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Usaremos análise do termo geral, factorials duplos e Stirling.
Passo 2
Denote
onde por definição
Passo 3
Expressamos em termos de factorials simples:
Logo
e portanto
Passo 4
Aplicando Stirling
temos, ao substituir em
e simplificar,
Passo 5
Como
, o termo geral não tende a zero. Pelo teste do termo geral a série diverge. Não há convergência absoluta nem condicional, apenas divergência.
Resposta
A série diverge.