Use algum método apropriado para saber se cada série converge ou diverge. Se convergir, determine se a convergência é absoluta ou condicional.
(50 \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots(2 k)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 k-1)}\right]^{2})

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=1^infty[2cdot4cdot6cdots(2k)1cdot3cdot5cdots(2k-1)]^2
Usaremos análise do termo geral, factorials duplos e Stirling.

Passo 2

Denote
ak=[(2k)!!(2k-1)!!]^2,
onde por definição
(2k)!!=2cdot4cdot6cdots(2k),(2k-1)!!=1cdot3cdot5cdots(2k-1)

Passo 3

Expressamos em termos de factorials simples:
(2k)!!=2^k,k!, (2k-1)!!=(2k)!2^k,k!
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(2k)!!(2k-1)!! =2^k,k!,(2k)!/(2^kk!) =2^2k,(k!)^2(2k)!,
e portanto
ak =2^4k,(k!)^4l((2k)!r)^2

Passo 4

Aplicando Stirling
k!simraiz2pi k,l(ker)^k, (2k)!simraiz4pi k,l(2ker)^2k,
temos, ao substituir em ak e simplificar,
aksim pi,k quando ktoinfty

Passo 5

Como aksim pi,ktoinfty, o termo geral não tende a zero. Pelo teste do termo geral a série diverge. Não há convergência absoluta nem condicional, apenas divergência.

Resposta

A série diverge.

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