Use algum método apropriado para saber se cada série converge ou diverge. Se convergir, determine se a convergência é absoluta ou condicional.
(44 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1){k}}{k{2}+(-1)^{k}})
(44 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1){k}}{k{2}+(-1)^{k}})
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
identificando se ela converge absolutamente ou apenas condicionalmente. O conteúdo aqui envolve o critério da série alternada (Leibniz) e teste de comparação para séries positivas (p-série).
Passo 2
Vamos escrever o termo geral
separando os casos
par e
ímpar:
Para temos
e
Para
enquanto para
vale
e
Logo a série é de sinal alternado, com módulo
Passo 3
Aplicamos o critério de Leibniz (série alternada):
.
porque
.
. A sequência
é (eventualmente) decrescente, pois para
grande
cresce e
decresce.
Pelos dois itens, a série converge.
Pelos dois itens, a série
Passo 4
Para a convergência absoluta, consideramos
Note que, para
,
pois
dá
. Assim
E
é convergente (
>
). Pelo teste da comparação,
converge. Portanto a série converge absolutamente.
Resposta
A série converge e a convergência é absoluta.