Use algum método apropriado para saber se cada série converge ou diverge. Se convergir, determine se a convergência é absoluta ou condicional.
(44 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1){k}}{k{2}+(-1)^{k}})

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=2^infty (-1)^kk^2+(-1)^k,
identificando se ela converge absolutamente ou apenas condicionalmente. O conteúdo aqui envolve o critério da série alternada (Leibniz) e teste de comparação para séries positivas (p-série).

Passo 2

Vamos escrever o termo geral
ak = (-1)^kk^2+(-1)^k
separando os casos k par e k ímpar:
Para k=2n temos (-1)^k=1 e
a2n = 1(2n)^2+1 > 0,
enquanto para k=2n+1 vale (-1)^k=-1 e
a2n+1 = -1(2n+1)^2-1 < 0
Logo a série é de sinal alternado, com módulo
bk = |ak| = 1k^2+(-1)^k

Passo 3

Aplicamos o critério de Leibniz (série alternada):
1. limktoinftybk=0 porque bksim1/k^2.
2. A sequência (bk) é (eventualmente) decrescente, pois para k grande k^2+(-1)^k cresce e bk decresce.
Pelos dois itens, a série sum ak converge.

Passo 4

Para a convergência absoluta, consideramos
sumk=2^infty|ak| = sumk=2^infty1k^2+(-1)^k
Note que, para k>=2,
k^2+(-1)^k;>=;k^2-1;>=;k^22,
pois k^2>=2 k^2-1>= k^2/2. Assim
|ak| <= 2k^2
E sum 2/k^2 é convergente ( p =2> 1). Pelo teste da comparação, sum|ak| converge. Portanto a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge e a convergência é absoluta.

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