Encontre o centro a, o raio R e o intervalo I de convergência das séries de potência dadas.
sumk=0^infty (-1)^k 2^2 k+12 k+1(x-3)^2 k)

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potência
sumk=0^infty (-1)^k,2^2k+12k+1,(x-3)^2k
e pede o centro a, o raio R e o intervalo I de convergência. O conteúdo envolvido é o estudo de séries de potência pelo teste da raiz (ou razão) e investigação nos extremos.

Passo 2

Para identificar o centro, observamos que todos os termos estão em potências de (x-3). Logo o centro é
a = 3

Passo 3

Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz. Denotando
bk = (-1)^k,2^2k+12k+1,(x-3)^2k,
temos
limktoinfty l|bkr|^1/k =limktoinfty 2^(2k+1)/k(2k+1)^1/k,|x-3|^2 =4,|x-3|^2
Convergência exige 4,|x-3|^2<1, ou seja
|x-3|<12
Portanto
R = 12

Passo 4

O interior do intervalo de convergência é
3 - R < x < 3 + R Longrightarrow 52 < x < 72

Passo 5

Faltam os extremos x=tfrac52 e x=tfrac72.
1. Para x=tfrac52 temos (x-3)^2k=(-tfrac12)^2k=(tfrac14)^k. A série torna-se
sumk=0^infty 2,(-1)^k2k+1,
que converge por critério de Leibniz (é alternada com termos decrescentes a zero).
2. Para x=tfrac72 a mesma conta surge, pois (tfrac72-3)^2k=(tfrac12)^2k=(tfrac14)^k. Logo também converge por Leibniz.

Resposta

a =3
R = tfrac12
I = [52,72]

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