Encontre o centro , o raio e o intervalo de convergência das séries de potência dadas.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potência
e pede o centro , o raio e o intervalo de convergência. O conteúdo envolvido é o estudo de séries de potência pelo teste da raiz (ou razão) e investigação nos extremos.
Passo 2
Para identificar o centro, observamos que todos os termos estão em potências de . Logo o centro é
Passo 3
Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz. Denotando
temos
Convergência exige 4,|x-3|^2<1, ou seja
|x-3|<12
Portanto
R = 12
Passo 4
O interior do intervalo de convergência é
3 - R < x < 3 + R Longrightarrow 52 < x < 72
Passo 5
Faltam os extremos x=tfrac52 e x=tfrac72. 1. Para x=tfrac52 temos (x-3)^2k=(-tfrac12)^2k=(tfrac14)^k. A série torna-se
sumk=0^infty 2,(-1)^k2k+1,
que converge por critério de Leibniz (é alternada com termos decrescentes a zero). 2. Para x=tfrac72 a mesma conta surge, pois (tfrac72-3)^2k=(tfrac12)^2k=(tfrac14)^k. Logo também converge por Leibniz.
Resposta
a =3
R = tfrac12
I = [52,72]
Cálculo Numérico - Análise numérica - burden - 10ª Edição - Capítulo 13.Conjunto de Problemas de Revisão - Ex. 63