Estime a soma de série dada com um erro que não ultrapasse 5 times 10^-4 em valor absoluto.
sumk=1^infty(-1)^k+1 1k cdot 2^k

Passo 1

O enunciado pede para estimar
S = sumk=1^infty(-1)^k+11kcdot2^k
com erro em valor absoluto não superior a 5times10^-4.
O conteúdo envolvido é o Teste de Leibniz para séries alternadas e a estimativa do resto.

Passo 2

Defina
ak = 1kcdot2^k>0
Observamos que (ak) é decrescente para k>=1 e limktoinftyak=0.
Pelo Teste de Leibniz, a série converge e o resto após N termos satisfaz
|RN| = l|S - sumk=1^N(-1)^k+1akr|<= aN+1

Passo 3

Queremos aN+1<=5times10^-4, ou seja
1(N+1)2^,N+1<= 5times10^-4
Teste de valores inteiros:
N+1=7implies 1/(7cdot128)approx0,001116>0,0005,
N+1=8implies 1/(8cdot256)=1/2048approx0,000488<0,0005
Logo basta escolher N=7.

Passo 4

Calculemos a soma parcial até k=7:
S7=sumk=1^7(-1)^k+11kcdot2^k =;0,5-0,125+0,0416667-0,015625+0,00625-0,0026042+0,0011161 approx0,4058036
E o resto satisfaz |R7|<= a8=1/2048approx0,000488<5times10^-4.

Resposta

sumk=1^infty(-1)^k+11kcdot2^kapprox0,4058,
com erro em valor absoluto menor que 5times10^-4.

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