Use algum método apropriado para saber se cada série converge ou diverge. Se convergir, determine se a convergência é absoluta ou condicional.
(46 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\ln (1+1 / k)})

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternante
sumk=1^infty (-1)^klnl(1+tfrac1kr)
O conteúdo principal é o teste da divergência (ou teste do termo geral): se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Analisamos o comportamento assintótico de
ak = 1lnl(1+tfrac1kr)
Para k grande, usamos a expansão ln(1+x)sim x quando xto0. Aqui x=1/k, logo
lnl(1+tfrac1kr)sim tfrac1k Longrightarrow ak = 1ln(1+1/k) sim 11/k = k

Passo 3

Como aksim k, temos limktoinftyak = infty. Em particular
limktoinfty (-1)^kln(1+1/k) neq 0
Pelo teste da divergência, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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