20 Se an e bn são sequências convergentes an <= bn se verifica para todo inteiro positivo n, prove que lim n +infty an <= lim n +infty bn.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas sequências convergentes an e bn que satisfazem
an<= bnforall ninN
Queremos provar que
limntoinftyan;<=;limntoinftybn

Passo 2

Definimos a sequência cn por
cn=bn-an
Como an<= bn para todo n, então cn>=0 para todo n. Pelo teorema da linearidade do limite, como an e bn convergem com
A=limntoinftyan, B=limntoinftybn,
segue
limntoinftycn =limntoinfty(bn-an) =limntoinftybn;-;limntoinftyan = B - A

Passo 3

Como cada termo cn é não negativo e cn converge para B-A, temos
B - A ;>=;0
Isto implica A<= B, ou seja
limntoinftyan<=limntoinftybn

Resposta

limntoinftyan<=limntoinftybn

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