Encontre os primeiros quatro termos da série de Taylor para cada função no valor dado de a.
g(x)=sen 2 x, a=pi / 4)

Passo 1

Estamos desenvolvendo em série de Taylor em torno de a=pi/4 a função
g(x)=sin(2x)
Vamos usar a fórmula
Tn(x)=sumk=0^ng^(k)(a)k!,(x-a)^k
e calcular os quatro primeiros termos (isto é, até k=3).

Passo 2

Calculamos as derivadas e avaliamos em x=a:
g(x)&=sin(2x),&g(a)&=sinl(2cdottfracpi4r)=sinl(tfracpi2r)=1, g'(x)&=2cos(2x),&g'(a)&=2cosl(tfracpi2r)=2cdot0=0, g''(x)&=-4sin(2x),&g''(a)&=-4sinl(tfracpi2r)=-4cdot1=-4, g'''(x)&=-8cos(2x),&g'''(a)&=-8cosl(tfracpi2r)=-8cdot0=0

Passo 3

Substituindo na fórmula de Taylor até k=3:
T3(x) =g(a)0!(x-a)^0 +g'(a)1!(x-a)^1 +g''(a)2!(x-a)^2 +g'''(a)3!(x-a)^3
Como g'(a)=g'''(a)=0 e g''(a)=-4, fica
T3(x) =1 + 0,(x-a) +-42(x-a)^2 +0,(x-a)^3 =1-2,(x-tfracpi4)^2

Resposta

Os quatro primeiros termos são
1 + 0,(x-tfracpi4)-2,(x-tfracpi4)^2+0,(x-tfracpi4)^3,
ou, simplificando,
T3(x)=1-2,(x-tfracpi4)^2

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