55 Encontre d y / d x se y sen x-x cos y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
ysin x ;-; xcos y ;=;0
e pede dfracdydx. Para isso vamos usar diferenciação implícita, aplicando dfracddx em cada termo.

Passo 2

Derivando termo a termo com respeito a x:
– Para ysin x, pela regra do produto,
ddx(ysin x) = y',sin x ;+; y,cos x
– Para xcos y, também pela regra do produto e cadeia,
ddx(xcos y) = 1cdotcos y ;+; xl(-sin yr),y' = cos y ;-; xsin y,y'
Como a equação original é igual a zero, a soma das derivadas deve ser zero:
l(y'sin x + ycos xr);-;l(cos y - xsin y,y'r)=0

Passo 3

Expandindo e agrupando os termos que contêm y':
y'sin x + ycos x - cos y + xsin y,y' = 0 Longrightarrow y'(sin x + xsin y) + (ycos x - cos y) = 0

Passo 4

Isolando y':
y'(sin x + xsin y) = cos y - ycos x Longrightarrow y' = cos y - ycos xsin x + xsin y

Resposta

dydx = cos y - ycos xsin x + xsin y

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